Uma bússola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magnético da Terra. Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magnético m e momento de inércia I, suspensa de forma a poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situada num campo magnético horizontal uniforme B0. As direções de m e B0 formam inicialmente um pequeno ângulo theta0. Calcule a frequência angular de oscilação (desprezando o amortecimento) e mostre que sua determinação permite medir |m| cdot|B0|.

Passo 1

Está a gente lidando com um problema de física que envolve o movimento de uma agulha magnética numa bússola. A questão fala sobre como a agulha oscila antes de se alinhar com o campo magnético da Terra. Vamos precisar dos conceitos de torque magnético, momento de inércia e movimento harmônico simples para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A agulha imantada tem um momento de dipolo magnético e está suspensa de maneira que possa oscilar ao redor de um eixo vertical. Quando a agulha forma um pequeno ângulo com o campo magnético da Terra , ela vai sentir um torque que tenta alinhar a agulha com o campo.

Passo 3

O torque magnético tau = m times B0 que atua sobre a agulha é dado pela fórmula:
tau = m B0 sintheta
Como estamos interessados apenas na magnitude, podemos simplificar para:
tau approx m B0 theta
Como o ângulo é pequeno, podemos usar a aproximação , então:

Passo 4

Esse torque age como uma força restauradora, semelhante à mola em um sistema de movimento harmônico simples. A equação do movimento para a rotação é:
I d^2thetadt^2 = -tau
Substituindo o valor de I d^2thetadt^2 = -m B0 theta que encontramos:

Passo 5

Comparando essa equação com a fórmula padrão do movimento harmônico simples omega^2 = m B0I , identificamos que:
omega = raizm B0I
Portanto, a frequência angular é:

Passo 6

Finalmente, mostramos que depende diretamente do produto . Medindo a frequência angular e conhecendo o momento de inércia , podemos determinar o valor de .

Resposta

A frequência angular de oscilação é . Além disso, medindo , podemos determinar o produto .

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