a=bx t I+ay J
em que bx e ay são parâmetros escalares constantes e I e J são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes (vx0, vy0) da velocidade inicial (t0=0 s) da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula (x1, y1) no instante t1=1 s
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.a) o vetor velocidade V para um instante t qualquer

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos a aceleração da partícula representada por:
a = bx t I + ay J
onde e são constantes, e e são vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente. A gente também sabe a velocidade inicial no instante e a posição no tempo segundo. A pergunta é para encontrar o vetor velocidade em qualquer instante .

Passo 2

Para encontrar a velocidade em função do tempo, a gente precisa usar a relação entre aceleração e velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, a gente integra a aceleração:
V(t) = V0 + integralt0^t a , dt

Passo 3

Vamos fazer essa integração componente por componente. Primeiro, na direção Vx(t) = vx0 + integral0^t bx tau , dtau :
Aqui, substituímos por para indicar a variável de integração.

Passo 4

Calculando a integral de integral0^t bx tau , dtau = bx [ tau^22 ]0^t = bx ( t^22 - 0 ) = bx t^22 :

Passo 5

Agora, na direção Vy(t) = vy0 + integral0^t ay , dtau = vy0 + ay t , a aceleração é constante . Então, a integral fica:

Passo 6

Juntando as duas componentes, a velocidade vetorial V(t) = ( vx0 + bx t^22 ) I + ( vy0 + ay t ) J é:

Resposta

Portanto, o vetor velocidade para um instante V(t) = ( vx0 + bx t^22 ) I + ( vy0 + ay t ) J qualquer é:

Exercícios relacionados