© O conjunto de todas as matrizes
da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: c) é espaço vetorial
Resposta: c) é espaço vetorial
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido. Temos um conjunto de todas as matrizes
que são da forma:
onde
e
são números reais. O conteúdo envolvido aqui é o conceito de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas que definem um espaço vetorial, usando as operações padrão de adição de matrizes e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que está fechado sob duas operações: adição e multiplicação por escalar. Além disso, deve satisfazer certos axiomas, como existência de um vetor nulo, existência de inversos aditivos, distributividade, associatividade, etc.
Passo 3
Fechamento sob adição: Vamos pegar duas matrizes desse conjunto e somá-las.
[
+
]
A soma também é uma matriz da forma
, onde
e
. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: Vamos multiplicar uma matriz desse conjunto por um escalar
.
[
k \cdot
]
A matriz resultante ainda tem zeros fora da diagonal e os elementos da diagonal são escalados, mantendo a forma original. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Existência do vetor nulo: A matriz nula
está no conjunto, já que podemos escolher
e
.
Existência de inversos aditivos: Para qualquer matriz
, existe a matriz
que é seu inverso aditivo, pois:
Além disso, as demais propriedades como associatividade e distributividade seguem pelas propriedades das operações de matrizes.
Resposta
Portanto, o conjunto de todas as matrizes
da forma
, com as operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial.