© O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 da forma [lla & 0 0 & b] com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: c) é espaço vetorial

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido. Temos um conjunto de todas as matrizes a & 0 0 & b que são da forma:
onde e são números reais. O conteúdo envolvido aqui é o conceito de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas que definem um espaço vetorial, usando as operações padrão de adição de matrizes e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que está fechado sob duas operações: adição e multiplicação por escalar. Além disso, deve satisfazer certos axiomas, como existência de um vetor nulo, existência de inversos aditivos, distributividade, associatividade, etc.

Passo 3

Fechamento sob adição: Vamos pegar duas matrizes desse conjunto e somá-las.
[
a & 0 0 & b + c & 0 0 & d = a + c & 0 0 & b + d
+
e & 0 0 & f


]
A soma também é uma matriz da forma , onde e . Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: Vamos multiplicar uma matriz desse conjunto por um escalar k cdot a & 0 0 & b = k cdot a & 0 0 & k cdot b .
[
k \cdot


]
A matriz resultante ainda tem zeros fora da diagonal e os elementos da diagonal são escalados, mantendo a forma original. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Existência do vetor nulo: A matriz nula 0 & 0 0 & 0 está no conjunto, já que podemos escolher a & 0 0 & b e -a & 0 0 & -b .
Existência de inversos aditivos: Para qualquer matriz a & 0 0 & b + - a & 0 0 & - b = 0 & 0 0 & 0 , existe a matriz que é seu inverso aditivo, pois:
Além disso, as demais propriedades como associatividade e distributividade seguem pelas propriedades das operações de matrizes.

Resposta

Portanto, o conjunto de todas as matrizes a & 0 0 & b da forma , com as operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial.

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