Um cabo de aço instalado no guindaste de um porto possui 3,17 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15,25 \mathrm{~m} de comprimento. Quando esse cabo levanta uma carga de uma tonelada, de que tamanho ele fica? O modulo de elasticidade do aço é 207 \mathrm{GPa} .(0,5)

Passo 1

O enunciado descreve um cabo de aço submetido a uma força de tração ao levantar uma carga de uma tonelada. Os dados são: diâmetro d=3{,}17\\ \mathrm{cm}, comprimento inicial L=15{,}25\\ \mathrm{m} e módulo de elasticidade E=207\\ \mathrm{GPa}. O conteúdo aqui é deformação axial de um corpo rígido sob tensão, usando a lei de Hooke generalizada para sólidos.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades e calculamos a área da seção transversal e a força aplicada.
Convertendo o diâmetro para metros:
d = 3{,}17\\ \mathrm{cm} = 0{,}0317\\ \mathrm{m}
A área da seção circular vale
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}0317)^2}{4}\approx 7{,}90\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
A força de tração é o peso da carga de 1 tonelada 1000\\ \mathrm{kg} com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
F = m\,g = 1000\cdot9{,}8 = 9800\\ \mathrm{N}.

Passo 3

A deformação axial (variação de comprimento) é dada por
\Delta L = \frac{F\,L}{A\,E}.

Passo 4

Substituindo os valores:
\Delta L = \frac{9800\cdot15{,}25}{(7{,}90\times10^{-4})\cdot(207\times10^{9})} \approx 9,14\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\;=\;0{,}914\\ \mathrm{mm}.
Logo o comprimento final do cabo é
L_{\text{final}} = L + \Delta L = 15{,}25\\ \mathrm{m} + 9,14\times10^{-4}\\ \mathrm{m} \approx 15{,}2509\\ \mathrm{m}.

Resposta

O cabo fica com aproximadamente 15{,}2509\\ \mathrm{m} de comprimento.

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