1. Um cabo sustenta uma carga uniformemente distribuída de 40 kg/m em relação à horizontal e está suspenso por dois pontos fixos A e B, localizados como mostrado. Calcule as forças trativas no cabo A e B, e a força trativa mínima To.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as forças trativas no cabo nos pontos de apoio A e B e a força trativa mínima T_0.
As informações relevantes fornecidas (peguei os números da imagem e do enunciado) são:
  • Comprimento do vão horizontal entre A e B: L=100\\ \text{m}.
  • Flecha (sag) do cabo: a distância do ponto mais baixo até os apoios é f=10\\ \text{m} (apoios no mesmo nível).
  • Carga distribuída uniformemente por unidade de comprimento horizontal: 40\\ \text{kg/m}.
    Como a carga foi dada em massa por metro, converto para intensidade de peso por metro (força por comprimento) usando g=9{,}8\\ \text{m/s}^2:
w = 40\\ \text{kg/m}\times 9{,}8\\ \text{m/s}^2 = 392\\ \text{N/m}.
O que se pede:
  • T_A (força trativa no apoio A),
  • T_B (força trativa no apoio B),
  • T_0 (força trativa mínima, no ponto de menor tensão).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando o cabo suporta uma carga uniformemente distribuída por comprimento horizontal w e os apoios estão ao mesmo nível, a forma estática do cabo é uma parábola. Para o caso simétrico com o ponto mais baixo no meio do vão, a relação entre a flecha f, o vão L, a intensidade w e a componente horizontal da tensão H é:
f=\frac{wL^{2}}{8H}.
Explicando essa fórmula de forma simples: a equação da parábola, com origem no ponto mais baixo, é
y(x)=\frac{w}{2H}x^{2}.
Nos apoios x=\pm \frac{L}{2} tem-se y=\;f, portanto
f=\frac{w}{2H}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=\frac{wL^{2}}{8H},
daí isolamos H. A componente horizontal H é também a tensão mínima do cabo no ponto mais baixo; ou seja, T_0=H.
A componente vertical da tensão em cada apoio é igual à metade da carga total:
V=\frac{wL}{2}.
A tensão no apoio é a resultante dessas componentes:
T_{\text{apoio}}=\sqrt{H^{2}+V^{2}}.
Vou aplicar estas fórmulas passo a passo com os números do problema.

Passo 3

Calcular a componente horizontal H usando \;f=\dfrac{wL^{2}}{8H}\;. Isolando H:
H=\frac{wL^{2}}{8f}.
Substituindo w=392\\ \text{N/m}, L=100\\ \text{m}, f=10\\ \text{m}:
H=\frac{392\cdot(100)^{2}}{8\cdot10}=\frac{392\cdot10000}{80}=392\cdot125=49000\\ \text{N}.
Portanto a componente horizontal (tensão mínima) é T_0=H=49000\\ \text{N} (ou 49{,}0\\ \text{kN}).

Passo 4

Calcular a componente vertical V em cada apoio. A carga total é
W_{\text{total}}=wL=392\cdot100=39200\\ \text{N},
logo a metade em cada apoio é
V=\frac{W_{\text{total}}}{2}=\frac{39200}{2}=19600\\ \text{N}.
Observação útil: a razão V/H pode ser escrita de forma compacta como V/H=4f/L. Aqui V/H=4\cdot10/100=0{,}4, que confere com os números acima ( 19600/49000=0{,}4).

Passo 5

Calcular a tensão no apoio (módulo da força trativa) combinando as componentes:
T_{\text{apoio}}=\sqrt{H^{2}+V^{2}}.
Substituindo H=49000\\ \text{N} e V=19600\\ \text{N}:
T_{\text{apoio}}=\sqrt{(49000)^{2}+(19600)^{2}} =49000\sqrt{1+(0{,}4)^{2}} =49000\sqrt{1{,}16}.
Como \sqrt{1{,}16}\approx1{,}0770329, temos
T_{\text{apoio}}\approx49000\times1{,}0770329\approx52778{,}6\\ \text{N}\approx52{,}78\\ \text{kN}.
Portanto as forças trativas nos apoios A e B (sendo o caso simétrico) são aproximadamente 5{,}278\times10^{4}\\ \text{N}.

Resposta

T_A=52{,}78\\ \text{kN}
T_B=52{,}78\\ \text{kN}
T_0=49{,}00\\ \text{kN}

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