- Um cabo sustenta uma carga uniformemente distribuída de 40 kg/m em relação à horizontal e está suspenso por dois pontos fixos A e B, localizados como mostrado. Calcule as forças trativas no cabo A e B, e a força trativa mínima To.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as forças trativas no cabo nos pontos de apoio
e
e a força trativa mínima
.
As informações relevantes fornecidas (peguei os números da imagem e do enunciado) são:
As informações relevantes fornecidas (peguei os números da imagem e do enunciado) são:
- Comprimento do vão horizontal entre
e : . - Flecha (sag) do cabo: a distância do ponto mais baixo até os apoios é
(apoios no mesmo nível). - Carga distribuída uniformemente por unidade de comprimento horizontal:
.
Como a carga foi dada em massa por metro, converto para intensidade de peso por metro (força por comprimento) usando:
O que se pede:
-
(força trativa no apoio ), -
(força trativa no apoio ), -
(força trativa mínima, no ponto de menor tensão).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando o cabo suporta uma carga uniformemente distribuída por comprimento horizontal e os apoios estão ao mesmo nível, a forma estática do cabo é uma parábola. Para o caso simétrico com o ponto mais baixo no meio do vão, a relação entre a flecha
, o vão
, a intensidade
e a componente horizontal da tensão
é:
Quando o cabo suporta uma carga uniformemente distribuída por comprimento horizontal
Explicando essa fórmula de forma simples: a equação da parábola, com origem no ponto mais baixo, é
Nos apoios
tem-se
, portanto
daí isolamos
. A componente horizontal
é também a tensão mínima do cabo no ponto mais baixo; ou seja,
.
A componente vertical da tensão em cada apoio é igual à metade da carga total:
A componente vertical da tensão em cada apoio é igual à metade da carga total:
A tensão no apoio é a resultante dessas componentes:
Vou aplicar estas fórmulas passo a passo com os números do problema.
Passo 3
Calcular a componente horizontal
usando
. Isolando
:
Substituindo
,
,
:
Portanto a componente horizontal (tensão mínima) é
(ou
).
Passo 4
Calcular a componente vertical
em cada apoio. A carga total é
logo a metade em cada apoio é
Observação útil: a razão
pode ser escrita de forma compacta como
. Aqui
, que confere com os números acima (
).
Passo 5
Calcular a tensão no apoio (módulo da força trativa) combinando as componentes:
Substituindo
e
:
Como
, temos
Portanto as forças trativas nos apoios
e
(sendo o caso simétrico) são aproximadamente
.