A viga em balanço está sujeita a um duplo carregamento: q_{1} vale 20 \mathrm{kN} / \mathrm{m} em \mathrm{x}=0 e 0 em x=5,0 \mathrm{~m} ; \mathrm{q}_{2} inicia com 0 \mathrm{em} x=5,0 e termina 40 \mathrm{kN} / \mathrm{m} no final da viga. Ambas distribuições são lineares. (a) Determine as expressões que fornecem as forças cortantes e momentos fletores ao longo de toda a viga; (b) Construa o diagrama da força cortante; (c) Determine a posição e valor da força cortante máxima.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Determinar as expressões da força cortante e do momento fletor ao longo de toda a viga.
(b) Construir o diagrama da força cortante.
(c) Determinar a posição e o valor da força cortante máxima.
Informações fornecidas (retiradas da figura):
A viga é balanço, apoiada em A (x=0) e livre em B (x=10\\ \mathrm{m}).
Existem duas distribuições lineares (triangulares) de intensidade (unidades em \mathrm{kN/m}):
q_{1}: \,q_{1}(0)=20, \,q_{1}(5)=0. Ou seja, em 0\le x\le5 a intensidade varia linearmente de 20 a 0.
q_{2}: \,q_{2}(5)=0, \,q_{2}(10)=40. Ou seja, em 5\le x\le10 a intensidade varia linearmente de 0 a 40.
Comprimento total da viga: 10\\ \mathrm{m}. A coord. x é medida a partir de A (fixo), com x=10 no extremo livre.
Passo 2
Regras de equilíbrio e condições de contorno (isto é o que vamos usar para integrar e obter V(x) e M(x)):
Equilíbrio local da viga dá as relações diferenciais (convenção usual: V positiva para a resultante cortante que tende a gerar momento positivo conforme a convenção escolhida):\frac{dV}{dx} = -q(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x).Explicação rápida: q(x) é intensidade de carga por unidade de comprimento; uma carga no trecho reduz a cortante (dV/dx=-q). Em seguida, a derivada do momento em relação a x é a própria cortante.
Condições no extremo livre x=10 (sem força concentrada nem momento aplicado no extremo livre):V(10)=0,\qquad M(10)=0.Explicação: no extremo livre não há força cortante resultante nem momento externo, então ambas são zero; isso nos permite integrar para trás (integrar de x até 10).
Método prático: vamos escrever q(x) explicitamente em cada trecho, integrar \frac{dV}{dx}=-q usando V(10)=0 para obter V(x), e depois integrar \frac{dM}{dx}=V usando M(10)=0 para obter M(x). Tudo será feito peça por peça (0–5 e 5–10).
Passo 3
Expressar q(x) em cada trecho (função linear conhecida por dois pontos):
Para 0\le x\le5 (trecho com q_{1} decaindo de 20 a 0):q(x)=q_{1}(x)=20\left(1-\frac{x}{5}\right)=20 - 4x\quad(\mathrm{kN/m}).Verificação rápida: em x=0 obtém 20, em x=5 obtém 0.
Para 5\le x\le10 (trecho com q_{2} crescendo de 0 a 40):q(x)=q_{2}(x)=40\cdot\frac{x-5}{5}=8(x-5)\quad(\mathrm{kN/m}).Verificação: em x=5 é 0; em x=10 é 40.
Observação didática: escrever q(x) como polinômio facilita integrar por segmentos. A unidade de q é \mathrm{kN/m}; ao integrar uma vez teremos \mathrm{kN} (força cortante), ao integrar duas vezes teremos \mathrm{kN\cdot m} (momento).
Passo 4
Calcular V(x) para 5\le x\le10. Usamos
V(x)=\int_{x}^{10} q(s)\,ds,
obtido de V(10)-V(x)=-\int_{x}^{10} q\Rightarrow V(x)=\int_{x}^{10} q.
V(5)=100-0=100 (continuidade com trecho esquerdo que veremos a seguir).
Passo 5
Calcular V(x) para 0\le x\le5. Aqui V(x) é a soma da contribuição das cargas do trecho x\rightarrow5 (onde vale q_{1}) mais a contribuição total do trecho 5\rightarrow10 (já calculada como área total sobre q_{2}):
Primeiro, área total de q_{2} sobre 5\rightarrow10 (triângulo com base 5 e altura 40):\int_{5}^{10} q_{2}(s)\,ds = \frac{1}{2}\cdot5\cdot40 =100\\ \mathrm{kN}.
Segundo, integral de q_{1} de x até 5:\int_{x}^{5} (20-4s)\,ds = \big[20s-2s^{2}\big]_{s=x}^{5} = (100-50)-(20x-2x^{2}) = 50-20x+2x^{2}.
Somando as duas partes (área do trecho à direita sempre contribui para a cortante em x quando integradas até 10):
M(5)=-\frac{1000}{3}\approx -333{,}333\\ \mathrm{kN\cdot m}, que coincide com a expressão do trecho direito em x=5.
Passo 8
Diagrama da força cortante (construção qualitativa com pontos-chave e forma):
Valores nos pontos importantes:
V(0)=150\\ \mathrm{kN}.
V(5)=100\\ \mathrm{kN}.
V(10)=0\\ \mathrm{kN}.
Forma em cada trecho:
Em 0\le x\le5: V(x)=150-20x+2x^{2} é uma parábola que abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo). Ela decresce de 150 em x=0 até 100 em x=5.
Em 5\le x\le10: V(x)=100-4(x-5)^2 é uma parábola invertida com máximo em x=5 (valor 100) e que decresce até zero em x=10.
Traçado mental / gráfico: a cortante parte em +150 no apoio, cai suavemente (curva quadrática) até +100 em x=5, e continua decrescendo em forma de semi-xis parabólico até 0 em x=10. Não há mudança de sinal (toda a curva é positiva), logo não há ponto de corte por zero no interior além do extremo livre.
Passo 9
Posição e valor da força cortante máxima:
Para localizar extremos de V(x) olhamos para V'(x)=-q(x). Zeros de V'(x) ocorrem quando q(x)=0.
q(x)=0 apenas em x=5 (ponto de transição entre os triângulos). Em x=5 obtém-se V(5)=100.
Como q(x)>0 para todo x\in(0,10) (exceto exatamente em x=5), temos V'(x)=-q(x)<0 praticamente em todo o comprimento (o que significa que V é monotonicamente decrescente com x sobre cada trecho). Portanto o valor máximo de V ocorre em x menor possível, isto é no apoio x=0.
Valor máximo:\boxed{V_{\max}=V(0)=150\\ \mathrm{kN}\\ \text{em }x=0.}
Pequeno incentivo: já temos todas as fórmulas e checagens numéricas; na prova faça as integrais com calma e use as condições V(10)=M(10)=0 — isso facilita muito.
(b) Diagrama da força cortante: V(0)=150\\ \mathrm{kN}, decresce por uma parábola até V(5)=100\\ \mathrm{kN}, e continua decrescendo por uma parábola invertida até V(10)=0. Não há mudança de sinal no interior.\
(c) Força cortante máxima: V_{\max}=150\\ \mathrm{kN} em x=0.]