1. A viga em balanço está sujeita a um duplo carregamento: q_{1} vale 20 \mathrm{kN} / \mathrm{m} em \mathrm{x}=0 e 0 em x=5,0 \mathrm{~m} ; \mathrm{q}_{2} inicia com 0 \mathrm{em} x=5,0 e termina 40 \mathrm{kN} / \mathrm{m} no final da viga. Ambas distribuições são lineares. (a) Determine as expressões que fornecem as forças cortantes e momentos fletores ao longo de toda a viga; (b) Construa o diagrama da força cortante; (c) Determine a posição e valor da força cortante máxima.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar as expressões da força cortante e do momento fletor ao longo de toda a viga.
  • (b) Construir o diagrama da força cortante.
  • (c) Determinar a posição e o valor da força cortante máxima.
Informações fornecidas (retiradas da figura):
  • A viga é balanço, apoiada em A ( x=0) e livre em B ( x=10\\ \mathrm{m}).
  • Existem duas distribuições lineares (triangulares) de intensidade (unidades em \mathrm{kN/m}):
    • q_{1}: \,q_{1}(0)=20, \,q_{1}(5)=0. Ou seja, em 0\le x\le5 a intensidade varia linearmente de 20 a 0.
    • q_{2}: \,q_{2}(5)=0, \,q_{2}(10)=40. Ou seja, em 5\le x\le10 a intensidade varia linearmente de 0 a 40.
  • Comprimento total da viga: 10\\ \mathrm{m}. A coord. x é medida a partir de A (fixo), com x=10 no extremo livre.

Passo 2

Regras de equilíbrio e condições de contorno (isto é o que vamos usar para integrar e obter V(x) e M(x)):
  • Equilíbrio local da viga dá as relações diferenciais (convenção usual: V positiva para a resultante cortante que tende a gerar momento positivo conforme a convenção escolhida): \frac{dV}{dx} = -q(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x).Explicação rápida: q(x) é intensidade de carga por unidade de comprimento; uma carga no trecho reduz a cortante ( dV/dx=-q). Em seguida, a derivada do momento em relação a x é a própria cortante.
  • Condições no extremo livre x=10 (sem força concentrada nem momento aplicado no extremo livre): V(10)=0,\qquad M(10)=0.Explicação: no extremo livre não há força cortante resultante nem momento externo, então ambas são zero; isso nos permite integrar para trás (integrar de x até 10).
Método prático: vamos escrever q(x) explicitamente em cada trecho, integrar \frac{dV}{dx}=-q usando V(10)=0 para obter V(x), e depois integrar \frac{dM}{dx}=V usando M(10)=0 para obter M(x). Tudo será feito peça por peça (0–5 e 5–10).

Passo 3

Expressar q(x) em cada trecho (função linear conhecida por dois pontos):
  • Para 0\le x\le5 (trecho com q_{1} decaindo de 20 a 0): q(x)=q_{1}(x)=20\left(1-\frac{x}{5}\right)=20 - 4x\quad(\mathrm{kN/m}).Verificação rápida: em x=0 obtém 20, em x=5 obtém 0.
  • Para 5\le x\le10 (trecho com q_{2} crescendo de 0 a 40): q(x)=q_{2}(x)=40\cdot\frac{x-5}{5}=8(x-5)\quad(\mathrm{kN/m}).Verificação: em x=5 é 0; em x=10 é 40.
Observação didática: escrever q(x) como polinômio facilita integrar por segmentos. A unidade de q é \mathrm{kN/m}; ao integrar uma vez teremos \mathrm{kN} (força cortante), ao integrar duas vezes teremos \mathrm{kN\cdot m} (momento).

Passo 4

Calcular V(x) para 5\le x\le10. Usamos
V(x)=\int_{x}^{10} q(s)\,ds,
obtido de V(10)-V(x)=-\int_{x}^{10} q\Rightarrow V(x)=\int_{x}^{10} q.
Para 5\le x\le10,
V(x)=\int_{x}^{10} 8(s-5)\,ds =8\left[\frac{(s-5)^2}{2}\right]_{s=x}^{10} =4\big((10-5)^2-(x-5)^2\big).
Portanto
\boxed{V(x)=100-4(x-5)^2\quad\text{para }5\le x\le10\quad(\mathrm{kN}).}
Checagens úteis:
  • V(10)=100-4\cdot25=0 (condição de contorno).
  • V(5)=100-0=100 (continuidade com trecho esquerdo que veremos a seguir).

Passo 5

Calcular V(x) para 0\le x\le5. Aqui V(x) é a soma da contribuição das cargas do trecho x\rightarrow5 (onde vale q_{1}) mais a contribuição total do trecho 5\rightarrow10 (já calculada como área total sobre q_{2}):
  • Primeiro, área total de q_{2} sobre 5\rightarrow10 (triângulo com base 5 e altura 40): \int_{5}^{10} q_{2}(s)\,ds = \frac{1}{2}\cdot5\cdot40 =100\\ \mathrm{kN}.
  • Segundo, integral de q_{1} de x até 5: \int_{x}^{5} (20-4s)\,ds = \big[20s-2s^{2}\big]_{s=x}^{5} = (100-50)-(20x-2x^{2}) = 50-20x+2x^{2}.
Somando as duas partes (área do trecho à direita sempre contribui para a cortante em x quando integradas até 10):
V(x)=\big(50-20x+2x^{2}\big)+100 = 150-20x+2x^{2}\quad\text{para }0\le x\le5.
Logo:
\boxed{V(x)=150-20x+2x^{2}\quad\text{para }0\le x\le5\quad(\mathrm{kN}).}
Checagens rápidas:
  • V(0)=150 (reação cortante no apoio).
  • V(5)=150-100+50=100 (continuidade com o valor obtido no passo anterior).

Passo 6

Agora obter M(x) integrando V. Usamos
M(x)=-\int_{x}^{10} V(s)\,ds,
derivado de M(10)-M(x)=\int_{x}^{10} V(s)\,ds com M(10)=0.
Primeiro para 5\le x\le10, usar V(s)=100-4(s-5)^2:
\begin{aligned} \int_{x}^{10} V(s)\,ds &= \int_{x}^{10}\big(100-4(s-5)^2\big)ds =100(10-x)-\frac{4}{3}\big(125-(x-5)^3\big). \end{aligned}
Então
M(x)=-\Big[100(10-x)-\frac{4}{3}\big(125-(x-5)^3\big)\Big].
Organizando:
M(x)=-\frac{2500}{3}+100x-\frac{4}{3}(x-5)^3\quad\text{para }5\le x\le10.
É possível expandir para um polinômio em x; uma forma mais simples (expandida) é
\boxed{M(x)=-\frac{4}{3}x^{3}+20x^{2}-\frac{2000}{3}\quad\text{para }5\le x\le10\quad(\mathrm{kN\cdot m}).}
(Verificação: em x=10 dá zero.)

Passo 7

Para 0\le x\le5 podemos usar M(x)=M(5)-\int_{x}^{5} V(s)\,ds. Já sabemos M(5) a partir da expressão anterior substituindo x=5:
M(5)=-\frac{1000}{3}\quad(\mathrm{kN\cdot m}).
Agora integramos V(s)=150-20s+2s^{2} de s=x até 5:
\int_{x}^{5} (150-20s+2s^{2})\,ds = \big[150s-10s^{2}+\tfrac{2}{3}s^{3}\big]_{s=x}^{5} = \frac{1750}{3} - \big(150x-10x^{2}+\tfrac{2}{3}x^{3}\big).
Portanto
\begin{aligned} M(x) &= M(5)-\int_{x}^{5} V(s)\,ds \\\ &= -\frac{1000}{3} -\frac{1750}{3} +150x -10x^{2} +\frac{2}{3}x^{3} = 150x -10x^{2} +\frac{2}{3}x^{3} -\frac{2750}{3}. \end{aligned}
Assim:
\boxed{M(x)=150x-10x^{2}+\frac{2}{3}x^{3}-\frac{2750}{3}\quad\text{para }0\le x\le5\quad(\mathrm{kN\cdot m}).}
Checagens:
  • M(0)=-\frac{2750}{3}\approx -916{,}667\\ \mathrm{kN\cdot m} (momento de apoio; sinal negativo indica sentido conforme convenção).
  • M(5)=-\frac{1000}{3}\approx -333{,}333\\ \mathrm{kN\cdot m}, que coincide com a expressão do trecho direito em x=5.

Passo 8

Diagrama da força cortante (construção qualitativa com pontos-chave e forma):
  • Valores nos pontos importantes:
    • V(0)=150\\ \mathrm{kN}.
    • V(5)=100\\ \mathrm{kN}.
    • V(10)=0\\ \mathrm{kN}.
  • Forma em cada trecho:
    • Em 0\le x\le5: V(x)=150-20x+2x^{2} é uma parábola que abre para cima (coeficiente de x^{2} positivo). Ela decresce de 150 em x=0 até 100 em x=5.
    • Em 5\le x\le10: V(x)=100-4(x-5)^2 é uma parábola invertida com máximo em x=5 (valor 100) e que decresce até zero em x=10.
  • Traçado mental / gráfico: a cortante parte em +150 no apoio, cai suavemente (curva quadrática) até +100 em x=5, e continua decrescendo em forma de semi-xis parabólico até 0 em x=10. Não há mudança de sinal (toda a curva é positiva), logo não há ponto de corte por zero no interior além do extremo livre.

Passo 9

Posição e valor da força cortante máxima:
  • Para localizar extremos de V(x) olhamos para V'(x)=-q(x). Zeros de V'(x) ocorrem quando q(x)=0.
  • q(x)=0 apenas em x=5 (ponto de transição entre os triângulos). Em x=5 obtém-se V(5)=100.
  • Como q(x)>0 para todo x\in(0,10) (exceto exatamente em x=5), temos V'(x)=-q(x)<0 praticamente em todo o comprimento (o que significa que V é monotonicamente decrescente com x sobre cada trecho). Portanto o valor máximo de V ocorre em x menor possível, isto é no apoio x=0.
  • Valor máximo: \boxed{V_{\max}=V(0)=150\\ \mathrm{kN}\\ \text{em }x=0.}
Pequeno incentivo: já temos todas as fórmulas e checagens numéricas; na prova faça as integrais com calma e use as condições V(10)=M(10)=0 — isso facilita muito.

Resposta

(a) V(x)=\begin{cases} 150-20x+2x^{2}, & 0\le x\le5,\\[6pt] 100-4(x-5)^{2}, & 5\le x\le10, \end{cases}\quad M(x)=\begin{cases} 150x-10x^{2}+\dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{2750}{3}, & 0\le x\le5,\\[8pt] -\dfrac{4}{3}x^{3}+20x^{2}-\dfrac{2000}{3}, & 5\le x\le10, \end{cases}\
(b) Diagrama da força cortante: V(0)=150\\ \mathrm{kN}, decresce por uma parábola até V(5)=100\\ \mathrm{kN}, e continua decrescendo por uma parábola invertida até V(10)=0. Não há mudança de sinal no interior.\
(c) Força cortante máxima: V_{\max}=150\\ \mathrm{kN} em x=0.]

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