Em cada caso, calcule o produto de matrizes indicado.
\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\\\ -2 & -5 \\\\ 1 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -3 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e pede o produto delas. As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\[4pt] -2 & -5 \\[4pt] 1 & 5\end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -3 & 5\end{array}\right].
O que é pedido: calcular o produto AB.
Informações relevantes (peguei-as do enunciado):
  • A é uma matriz de dimensão 3\times2.
  • B é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • Como o número de colunas de A coincide com o número de linhas de B (ambos iguais a 2), o produto AB está bem definido e terá dimensão 3\times3.]

Passo 2

Vamos lembrar a definição de multiplicação de matrizes (essa é a regra que vou aplicar passo a passo).
Se A é m\times n e B é n\times p, então C=AB é m\times p e cada entrada c_{ij} de C é dada por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Explicando com calma: para obter o elemento da linha i e coluna j do produto, pega-se a linha i de A (um vetor linha com n componentes) e faz o produto escalar com a coluna j de B (um vetor coluna com n componentes). Ou seja, multiplica-se componente a componente e soma tudo.
No nosso caso: m=3, n=2, p=3. Então cada entrada (AB)_{ij} será a soma de 2 produtos do tipo a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}.

Passo 3

Agora calculo cada entrada do produto AB usando exatamente a fórmula anterior. Vou fazer os produtos linha por coluna, com contas bem explicadinhas.
Cálculo dos elementos da primeira linha de AB (linha 1 de A é (4,2)):
(AB)_{11}=4\cdot1+2\cdot0=4+0=4.
(AB)_{12}=4\cdot2+2\cdot(-3)=8-6=2.
(AB)_{13}=4\cdot3+2\cdot5=12+10=22.
Cálculo dos elementos da segunda linha de AB (linha 2 de A é (-2,-5)):
(AB)_{21}=(-2)\cdot1+(-5)\cdot0=-2+0=-2.
(AB)_{22}=(-2)\cdot2+(-5)\cdot(-3)=-4+15=11.
(AB)_{23}=(-2)\cdot3+(-5)\cdot5=-6-25=-31.
Cálculo dos elementos da terceira linha de AB (linha 3 de A é (1,5)):
(AB)_{31}=1\cdot1+5\cdot0=1+0=1.
(AB)_{32}=1\cdot2+5\cdot(-3)=2-15=-13.
(AB)_{33}=1\cdot3+5\cdot5=3+25=28.

Passo 4

Resumo das entradas calculadas (cada entrada (AB)_{ij} foi obtida pelo produto escalar da linha i de A com a coluna j de B, conforme mostrado acima). Conferi que todas têm sentido e que a dimensão do resultado é 3\times3.

Resposta

\left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 22 \\[4pt] -2 & 11 & -31 \\[4pt] 1 & -13 & 28 \end{array}\right]]