Em cada caso determine o coeficiente angular da reta tangente à função no ponto dado e, em seguida, encontre a equação dessa reta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede duas coisas:
- Determinar o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente à curva de
no ponto . - Encontrar a equação da reta tangente nesse ponto.
Informações relevantes: a função
e o ponto
(verificação rápida:
, portanto o ponto pertence ao gráfico).
Passo 2
O que significa coeficiente angular da reta tangente? É o valor da derivada da função no ponto: se a reta tangente é em
, o coeficiente angular é
.
Como calcular
? Poderíamos usar a regra do quociente, que diz que para
,
Aqui
e
. Porém é mais simples fazer uma pequena manipulação algébrica antes: reescrever a função numa forma que facilite a diferenciação (evita memória da fórmula do quociente).
Passo 3
Reescrevendo
para derivar mais facilmente:
Isso é equivalente e costuma deixar a diferenciação direta (usando regra de potência e cadeia) mais clara.
Passo 4
Diferenciando termo a termo. A derivada de
é
. Para
escrevemos
e aplicamos a regra da potência junto com a regra da cadeia:
Se
então
. Como
, temos
.
Multiplicando pelo
,
Portanto
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter o coeficiente angular:
Logo o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado é
.
Passo 6
Agora a equação da reta tangente. Usamos a forma ponto-inclinação:
onde
e
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Essa é a equação da reta tangente no ponto
.
Resposta
Coeficiente angular:
Equação da reta tangente:
Equação da reta tangente: