Em cada caso determine o coeficiente angular da reta tangente à função no ponto dado e, em seguida, encontre a equação dessa reta.
f(x)=\frac{x}{x-2},(1 ;-1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{x-2} e o ponto (1,-1). Pede duas coisas:
  • Determinar o coeficiente angular (a inclinação) da reta tangente à curva de f no ponto x=1.
  • Encontrar a equação da reta tangente nesse ponto.
Informações relevantes: a função f e o ponto (1,-1) (verificação rápida: f(1)=\dfrac{1}{1-2}=-1, portanto o ponto pertence ao gráfico).

Passo 2

O que significa coeficiente angular da reta tangente? É o valor da derivada da função no ponto: se a reta tangente é em x=a, o coeficiente angular é f'(a).
Como calcular f'(x)? Poderíamos usar a regra do quociente, que diz que para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x-2. Porém é mais simples fazer uma pequena manipulação algébrica antes: reescrever a função numa forma que facilite a diferenciação (evita memória da fórmula do quociente).

Passo 3

Reescrevendo f(x) para derivar mais facilmente:
f(x)=\frac{x}{x-2}=\frac{(x-2)+2}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}.
Isso é equivalente e costuma deixar a diferenciação direta (usando regra de potência e cadeia) mais clara.

Passo 4

Diferenciando termo a termo. A derivada de 1 é 0. Para \dfrac{2}{x-2} escrevemos 2(x-2)^{-1} e aplicamos a regra da potência junto com a regra da cadeia:
Se g(x)=(x-2)^{-1} então g'(x)=-1\cdot(x-2)^{-2}\cdot (x-2)'. Como (x-2)'=1, temos g'(x)=- (x-2)^{-2}.
Multiplicando pelo 2,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{x-2}\right)=2\cdot \bigl(-(x-2)^{-2}\bigr)=-\frac{2}{(x-2)^{2}}.
Portanto
f'(x)=-\frac{2}{(x-2)^{2}}.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=1 para obter o coeficiente angular:
f'(1)=-\frac{2}{(1-2)^{2}}=-\frac{2}{(-1)^{2}}=-\frac{2}{1}=-2.
Logo o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado é m=-2.

Passo 6

Agora a equação da reta tangente. Usamos a forma ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0)=(1,-1) e m=-2. Substituindo:
y-(-1)=-2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y+1=-2(x-1).
Desenvolvendo:
y+1=-2x+2 \quad\Rightarrow\quad y=-2x+1.
Essa é a equação da reta tangente no ponto (1,-1).

Resposta

Coeficiente angular: -2
Equação da reta tangente: y=-2x+1