Em cada caso, determine o domínio máximo D ⊆ R da função f: D -> R dada por: f(x) = raiz( |2x - 7| - |3x + 2| + 5 ) / (x + 6)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar o domínio máximo da função . O assunto aqui é domínio de funções, que basicamente é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida. Vamos precisar analisar onde a função não dá problema, tipo denominador zero ou raiz de número negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é . A gente sabe que não pode dividir por zero, então vamos resolver:
Isso significa que não pode ser igual a , porque aí a função não existiria.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte da raiz, que é . Como estamos lidando com uma raiz de índice par (a oitava), o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, a gente monta a seguinte desigualdade:
Vamos resolver essa desigualdade pra encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 4

Para resolver , a gente precisa considerar os diferentes casos para os valores absolutos. Os pontos críticos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal são quando e . Vamos encontrar esses pontos:
Então, vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos:
Agora, vamos resolver a desigualdade em cada intervalo.

Passo 5

Intervalo 1:
Aqui, e , então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo , a solução aqui é .

Passo 6

Intervalo 2:
Aqui, e , então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo , a solução aqui é .

Passo 7

Intervalo 3:
Aqui, e , então:
Substituindo na desigualdade:
Mas estamos no intervalo , então não há solução nesse intervalo.

Passo 8

Agora, juntando as soluções dos intervalos:
E lembrando que , que está incluso no primeiro intervalo.

Resposta

O domínio máximo da função é com .

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