Em cada caso, determine o domínio máximo
da função
dada por:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar o domínio máximo da função
. O assunto aqui é domínio de funções, que basicamente é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida. Vamos precisar analisar onde a função não dá problema, tipo denominador zero ou raiz de número negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração, que é
. A gente sabe que não pode dividir por zero, então vamos resolver:
Isso significa que
não pode ser igual a
, porque aí a função não existiria.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte da raiz, que é
. Como estamos lidando com uma raiz de índice par (a oitava), o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, a gente monta a seguinte desigualdade:
Vamos resolver essa desigualdade pra encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 4
Para resolver
, a gente precisa considerar os diferentes casos para os valores absolutos. Os pontos críticos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal são quando
e
. Vamos encontrar esses pontos:
Então, vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos:
Agora, vamos resolver a desigualdade em cada intervalo.
Passo 5
Intervalo 1:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo
, a solução aqui é
.
Passo 6
Intervalo 2:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo
, a solução aqui é
.
Passo 7
Intervalo 3:
Aqui,
e
, então:
Substituindo na desigualdade:
Mas estamos no intervalo
, então não há solução nesse intervalo.
Passo 8
Agora, juntando as soluções dos intervalos:
E lembrando que
, que está incluso no primeiro intervalo.
Resposta
O domínio máximo da função é
com
.