Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{W} e^{z} d V onde W é a região limitada por 0 \leq z \leq 9-x^{2}-y^{2} e x^{2}+y^{2} \leq 9.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede avaliar a integral tripla \iiint_{W} e^{z}\,dV.
  • A região W é limitada por
    • 0 \leq z \leq 9 - x^{2} - y^{2},
    • x^{2}+y^{2} \leq 9.
Ou seja: a região em xy-plano é o disco de raio 3 centrado na origem (porque x^{2}+y^{2}\le 9 r\le 3), e em cada ponto desse disco z varia de 0 até a superfície z=9-x^{2}-y^{2}.

Passo 2

Por que mudar de coordenadas e qual escolha faz sentido:
  • A região no plano xy é um disco circular (simetria radial). Quando a região tem essa simetria, usar coordenadas cilíndricas (também chamadas polares no plano xy) facilita muito as integrais porque as equações ficam simples em termos de r e \theta.
  • Vamos então usar coordenadas cilíndricas: isso simplifica os limites e o elemento de volume.

Passo 3

Fórmulas das coordenadas cilíndricas e o elemento de volume (Jacobiano):
  • As transformações são x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O elemento de volume transforma como dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicando rápido o porquê: ao mudar de (x,y) para (r,\theta) o fator r aparece pelo Jacobiano da mudança de variáveis; intuitivamente ele representa o alongamento das pequenas áreas quando passamos de retângulos (dx\,dy) para elementos em forma de setor (r\,dr\,d\theta).

Passo 4

Determinar os limites nas coordenadas cilíndricas e montar a integral:
  • O disco x^{2}+y^{2}\le 9 vira 0 \le r \le 3 e 0 \le \theta \le 2\pi.
  • Para cada (r,\theta) fixo, z varia entre 0 e 9 - r^{2} (peguei 9 - r^{2} a partir de 9 - x^{2} - y^{2} substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2}).
  • A integral fica \iiint_{W} e^{z}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{9-r^{2}} e^{z}\, r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z (ordem escolhida para simplificar):
  • Para integrar em z usamos a primitiva de e^{z}. Lembrete: a primitiva de e^{z} é e^{z} (porque \dfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z}).
  • Assim, fixos r,\theta, \int_{z=0}^{9-r^{2}} e^{z}\,dz = \bigl[e^{z}\bigr]_{0}^{9-r^{2}} = e^{\,9-r^{2}} - e^{0} = e^{\,9-r^{2}} - 1.
  • Substituindo isso na integral reduzimos a integral tripla a uma dupla: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \bigl(e^{\,9-r^{2}} - 1\bigr)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar a integral em duas partes e preparar a substituição:
  • Escrevendo a integral em r, \int_{0}^{3} \bigl(e^{\,9-r^{2}} - 1\bigr)\, r\,dr = \int_{0}^{3} r\,e^{\,9-r^{2}}\,dr \;-\; \int_{0}^{3} r\,dr.
  • A segunda integral é direta; a primeira pede uma substituição conveniente porque há um r multiplicando e^{9-r^{2}}.

Passo 7

Calcular cada integral em r:
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{3} r\,e^{\,9-r^{2}}\,dr, use a substituição
    u = 9 - r^{2} \quad\Rightarrow\quad du = -2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = -\frac{1}{2}\,du.
    Quando r=0 temos u=9; quando r=3 temos u=0. Então
    \int_{0}^{3} r\,e^{\,9-r^{2}}\,dr = -\frac{1}{2}\int_{u=9}^{0} e^{u}\,du = -\frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{9}^{0} = -\frac{1}{2}\bigl(e^{0}-e^{9}\bigr) = \frac{e^{9}-1}{2}.
  2. Para \displaystyle \int_{0}^{3} r\,dr a primitiva é \dfrac{1}{2}r^{2}, então
    \int_{0}^{3} r\,dr = \left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{3} = \frac{1}{2}\cdot 9 = \frac{9}{2}.
  • Subtraindo: \int_{0}^{3} \bigl(e^{\,9-r^{2}} - 1\bigr)\, r\,dr = \frac{e^{9}-1}{2} - \frac{9}{2} = \frac{e^{9}-10}{2}.

Passo 8

Integrar em \theta e concluir:
  • A integral restante em \theta é simples: \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Multiplicando pelo resultado da integral em r (peguei esse valor do passo anterior), \iiint_{W} e^{z}\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{3} \bigl(e^{\,9-r^{2}} - 1\bigr)\, r\,dr\right) = 2\pi \cdot \frac{e^{9}-10}{2}.
  • Simplificando o fator 2, 2\pi \cdot \frac{e^{9}-10}{2} = \pi\bigl(e^{9}-10\bigr).
  • Observação rápida e motivadora: o valor é positivo porque e^{9} é muito maior que 10; faz sentido pois integrando e^{z} sobre uma região de volume positivo resulta em número positivo.

Resposta

\pi\bigl(e^{9}-10\bigr)

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