Em cada caso faça o que se pede.
Avalie \iiint_{W} e^{z} d V onde W é a região limitada por 0 \leq z \leq 9-x^{2}-y^{2} e x^{2}+y^{2} \leq 9.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
Pede avaliar a integral tripla \iiint_{W} e^{z}\,dV.
A região W é limitada por
0 \leq z \leq 9 - x^{2} - y^{2},
x^{2}+y^{2} \leq 9.
Ou seja: a região em xy-plano é o disco de raio 3 centrado na origem (porque x^{2}+y^{2}\le 9 dá r\le 3), e em cada ponto desse disco z varia de 0 até a superfície z=9-x^{2}-y^{2}.
Passo 2
Por que mudar de coordenadas e qual escolha faz sentido:
A região no plano xy é um disco circular (simetria radial). Quando a região tem essa simetria, usar coordenadas cilíndricas (também chamadas polares no plano xy) facilita muito as integrais porque as equações ficam simples em termos de r e \theta.
Vamos então usar coordenadas cilíndricas: isso simplifica os limites e o elemento de volume.
Passo 3
Fórmulas das coordenadas cilíndricas e o elemento de volume (Jacobiano):
As transformações sãox = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
O elemento de volume transforma comodV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicando rápido o porquê: ao mudar de (x,y) para (r,\theta) o fator r aparece pelo Jacobiano da mudança de variáveis; intuitivamente ele representa o alongamento das pequenas áreas quando passamos de retângulos (dx\,dy) para elementos em forma de setor (r\,dr\,d\theta).
Passo 4
Determinar os limites nas coordenadas cilíndricas e montar a integral:
O disco x^{2}+y^{2}\le 9 vira 0 \le r \le 3 e 0 \le \theta \le 2\pi.
Para cada (r,\theta) fixo, z varia entre 0 e 9 - r^{2} (peguei 9 - r^{2} a partir de 9 - x^{2} - y^{2} substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2}).
A integral fica\iiint_{W} e^{z}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{9-r^{2}} e^{z}\, r\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 5
Integrar primeiro em z (ordem escolhida para simplificar):
Para integrar em z usamos a primitiva de e^{z}. Lembrete: a primitiva de e^{z} é e^{z} (porque \dfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z}).
A integral restante em \theta é simples:\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelo resultado da integral em r (peguei esse valor do passo anterior),\iiint_{W} e^{z}\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{3} \bigl(e^{\,9-r^{2}} - 1\bigr)\, r\,dr\right) = 2\pi \cdot \frac{e^{9}-10}{2}.
Simplificando o fator 2,2\pi \cdot \frac{e^{9}-10}{2} = \pi\bigl(e^{9}-10\bigr).
Observação rápida e motivadora: o valor é positivo porque e^{9} é muito maior que 10; faz sentido pois integrando e^{z} sobre uma região de volume positivo resulta em número positivo.