Em cada caso faça o que se pede.
Calcule \iiint_{T} y d V onde T é a região delimitada por 0 \leq y \leq 16-x^{2}-z^{2} e x^{2}+z^{2} \leq 4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{T} y\,dV, onde a região T é dada por:
0 \leq y \leq 16 - x^{2} - z^{2},
x^{2} + z^{2} \leq 4.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Para cada ponto (x,z) no disco \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 4\}, a coordenada y varia entre \;0 e \;16-x^{2}-z^{2}.
A projeção de T no plano (x,z) é o disco de raio 2 centrado na origem, isto é \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 4\}.
A função a integrar é simplesmente y.
O que precisa ser encontrado: o valor numérico da integral \iiint_{T} y\,dV.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a integral como uma iterada, usando a observação do passo anterior: para cada (x,z) no disco D=\{x^{2}+z^{2}\le 4\} a variável y vai de 0 até 16-x^{2}-z^{2}. Portanto
Aqui dA_{xz} significa o elemento de área no plano (x,z).
Explicando a etapa interior (aulasinha rápida): integrar em y significa calcular a antiderivada de y em relação a y. A antiderivada de y é \tfrac{y^{2}}{2}. Sempre que integrar um polinômio em uma variável, aumente o expoente em 1 e divida pelo novo expoente — isso vale para y também.
Agora escolhemos coordenadas polares no plano (x,z) porque D é um disco circular. Em polares no plano (x,z) usamos
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad r\ge 0,\;0\le\theta<2\pi,
e o elemento de área é dA_{xz}=r\,dr\,d\theta (esse fator r é o jacobiano da transformação; significa que pequenas áreas em polares têm área aproximada r\,dr\,d\theta). Além disso x^{2}+z^{2}=r^{2}.
Fazemos a substituição padrão para esse tipo: seja \;u=16-r^{2}\;. Então \;du=-2r\,dr\;, logo \;r\,dr=-\tfrac{1}{2}du\;. Quando r=0 temos u=16; quando r=2 temos u=12. Assim