Em cada caso faça o que se pede.
Calcule \iiint_{T} y d V onde T é a região delimitada por 0 \leq y \leq 16-x^{2}-z^{2} e x^{2}+z^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{T} y\,dV, onde a região T é dada por:
  • 0 \leq y \leq 16 - x^{2} - z^{2},
  • x^{2} + z^{2} \leq 4.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Para cada ponto (x,z) no disco \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 4\}, a coordenada y varia entre \;0 e \;16-x^{2}-z^{2}.
  • A projeção de T no plano (x,z) é o disco de raio 2 centrado na origem, isto é \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 4\}.
  • A função a integrar é simplesmente y.
O que precisa ser encontrado: o valor numérico da integral \iiint_{T} y\,dV.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a integral como uma iterada, usando a observação do passo anterior: para cada (x,z) no disco D=\{x^{2}+z^{2}\le 4\} a variável y vai de 0 até 16-x^{2}-z^{2}. Portanto
\iiint_{T} y\,dV \;=\; \iint_{D}\left(\int_{0}^{16-x^{2}-z^{2}} y\,dy\right)dA_{xz}.
Aqui dA_{xz} significa o elemento de área no plano (x,z).
Explicando a etapa interior (aulasinha rápida): integrar em y significa calcular a antiderivada de y em relação a y. A antiderivada de y é \tfrac{y^{2}}{2}. Sempre que integrar um polinômio em uma variável, aumente o expoente em 1 e divida pelo novo expoente — isso vale para y também.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{16-x^{2}-z^{2}} y\,dy \;=\; \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{16-x^{2}-z^{2}} \;=\; \frac{1}{2}\bigl(16-x^{2}-z^{2}\bigr)^{2}.
Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre o disco D:
\iiint_{T} y\,dV \;=\; \iint_{D} \frac{1}{2}\bigl(16-x^{2}-z^{2}\bigr)^{2}\,dA_{xz}.

Passo 4

Agora escolhemos coordenadas polares no plano (x,z) porque D é um disco circular. Em polares no plano (x,z) usamos
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad r\ge 0,\;0\le\theta<2\pi,
e o elemento de área é dA_{xz}=r\,dr\,d\theta (esse fator r é o jacobiano da transformação; significa que pequenas áreas em polares têm área aproximada r\,dr\,d\theta). Além disso x^{2}+z^{2}=r^{2}.
Substituindo tudo:
\iiint_{T} y\,dV \;=\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \frac{1}{2}\bigl(16-r^{2}\bigr)^{2}\, r\,dr\,d\theta,
pois o disco tem 0\le r\le 2.

Passo 5

Simplificamos a constante e separamos as integrais:
\iiint_{T} y\,dV \;=\; \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\! d\theta \;\int_{0}^{2} \bigl(16-r^{2}\bigr)^{2} r\,dr \;=\; \pi \int_{0}^{2} \bigl(16-r^{2}\bigr)^{2} r\,dr,
porque \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} d\theta = \pi.
Agora calculamos a integral radial
I_r=\int_{0}^{2} \bigl(16-r^{2}\bigr)^{2} r\,dr.
Fazemos a substituição padrão para esse tipo: seja \;u=16-r^{2}\;. Então \;du=-2r\,dr\;, logo \;r\,dr=-\tfrac{1}{2}du\;. Quando r=0 temos u=16; quando r=2 temos u=12. Assim
I_r=\int_{r=0}^{2} u^{2}\,r\,dr \;=\; \int_{u=16}^{12} u^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) \;=\; \tfrac{1}{2}\int_{12}^{16} u^{2}\,du.

Passo 6

Continuando a integral em u:
\tfrac{1}{2}\int_{12}^{16} u^{2}\,du \;=\; \tfrac{1}{2}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{12}^{16} \;=\; \tfrac{1}{6}\bigl(16^{3}-12^{3}\bigr).
Calculando os cubos: 16^{3}=4096 e 12^{3}=1728. Então
I_r \;=\; \tfrac{1}{6}\bigl(4096-1728\bigr) \;=\; \tfrac{1}{6}\cdot 2368 \;=\; \tfrac{1184}{3}.

Passo 7

Voltando à integral total, lembrando do fator \pi do passo 5:
\iiint_{T} y\,dV \;=\; \pi \cdot I_r \;=\; \pi\cdot \tfrac{1184}{3} \;=\; \frac{1184\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{1184\pi}{3}

Exercícios relacionados