Em cada caso a seguir, expresse a função f como composição das funções dadas.
f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}} em termos de h(x)=1+x e g(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a função f como composição das funções dadas h e g. As informações fornecidas são:
f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}},
h(x)=1+x,
g(x)=\sqrt{x}.
A tarefa é reescrever f usando composições de g e h (por exemplo algo do tipo (\text{alguma composição de }g\text{ e }h)(x)çã).

Passo 2

Vou explicar o que significa “composição de funções” de forma bem simples. Se temos duas funções p e q, a composição p\circ q é a função que aplica primeiro q e depois p. Ou seja, por definição,
(p\circ q)(x)=p\big(q(x)\big).
Aqui q é a função interna (aplicada primeiro) e p é a função externa (aplicada por cima do resultado de q). Exemplo rápido: se p(t)=t+1 e q(t)=\sqrt{t}, então
(p\circ q)(x)=p\big(q(x)\big)=q(x)+1=\sqrt{x}+1.
Repare que sempre lemos da direita para a esquerda: primeiro q(x), depois p(\cdot).

Passo 3

Agora vamos olhar para a estrutura de f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}} e identificar camadas internas e externas. Observe que dentro da raiz externa \sqrt{\cdot} há a expressão 1+\sqrt{x}. Dentro dessa expressão há outra raiz \sqrt{x}. Portanto há três “camadas” naturais:
  • a camada mais interna é \sqrt{x}, que é exatamente g(x);
  • aplicando 1+ sobre essa camada obtemos 1+\sqrt{x}, que é h aplicada ao que saiu de g;
  • por fim aplicamos a raiz \sqrt{\cdot} novamente sobre 1+\sqrt{x}, isto é, aplicamos g sobre o resultado.

Passo 4

Vamos escrever isso passo a passo usando g e h.
  1. Aplicando g em x (camada interna):
g(x)=\sqrt{x}.
  1. Aplicando h no resultado anterior (próxima camada):
h\big(g(x)\big)=h\big(\sqrt{x}\big)=1+\sqrt{x}.
  1. Aplicando g novamente sobre esse resultado (camada externa):
g\big(h(g(x))\big)=\sqrt{\,h(g(x))\,}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.
Mas a última expressão é exatamente f(x). Logo
f(x)=g\big(h(g(x))\big).

Passo 5

Agora escrevemos a resposta usando a notação compacta de composição. Se (g\circ h\circ g)(x) significa aplicar primeiro g, depois h, depois g de novo, então:
(f)(x)=g\big(h(g(x))\big)=(g\circ h\circ g)(x).
Portanto a função f é a composição g\circ h\circ g.

Resposta

f=g\circ h\circ g \
f(x)=(g\circ h\circ g)(x)=g\big(h(g(x))\big)=\sqrt{1+\sqrt{x}}

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