Em cada caso a seguir, expresse a função
como composição das funções dadas.
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a função
como composição das funções dadas
e
. As informações fornecidas são:
A tarefa é reescrever
usando composições de
e
(por exemplo algo do tipo
).
Passo 2
Vou explicar o que significa “composição de funções” de forma bem simples. Se temos duas funções
e
, a composição
é a função que aplica primeiro
e depois
. Ou seja, por definição,
Aqui
é a função interna (aplicada primeiro) e
é a função externa (aplicada por cima do resultado de
). Exemplo rápido: se
e
, então
Repare que sempre lemos da direita para a esquerda: primeiro
, depois
.
Passo 3
Agora vamos olhar para a estrutura de
e identificar camadas internas e externas. Observe que dentro da raiz externa
há a expressão
. Dentro dessa expressão há outra raiz
. Portanto há três “camadas” naturais:
- a camada mais interna é
, que é exatamente ; - aplicando
sobre essa camada obtemos , que é aplicada ao que saiu de ; - por fim aplicamos a raiz
novamente sobre , isto é, aplicamos sobre o resultado.
Passo 4
Vamos escrever isso passo a passo usando
e
.
- Aplicando
em (camada interna):
- Aplicando
no resultado anterior (próxima camada):
- Aplicando
novamente sobre esse resultado (camada externa):
Mas a última expressão é exatamente
. Logo
Passo 5
Agora escrevemos a resposta usando a notação compacta de composição. Se
significa aplicar primeiro
, depois
, depois
de novo, então:
Portanto a função
é a composição
.