Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{R}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}-z_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}-x_{1} z_{2}+2 z_{1} z_{2}
e pede para verificar se isso é um produto interno (ou seja, forma bilinear, simétrica e definida positiva) e, em caso afirmativo, achar sua matriz (hermitiana) na base canônica de \mathbb{R}^3.
Passo 2
Verificamos bilinearidade e simetria. É claro que \langle\cdot,\cdot\rangle é linear em cada argumento pois cada termo é produto de coordenadas. Para a simetria, comparemos
\langle (x,y,z),(x,y,z)\rangle = x^2 -2\,x z + y^2 + 2\,z^2.
Reescrevendo,
x^2 -2xz +2z^2 +y^2 =(x-z)^2 + z^2 + y^2.
Esse soma de quadrados é zero somente se x-z=0, z=0 e y=0, isto é, só para o vetor nulo. Portanto \langle v,v\rangle>0 sempre que v\neq0, confirmando a definição de produto interno.
Passo 4
Agora, para achar a matriz A de \langle\cdot,\cdot\rangle na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculamos