Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{R}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}-z_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}-x_{1} z_{2}+2 z_{1} z_{2}

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^3 o aplicativo
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle =x_1x_2 - z_1x_2 + y_1y_2 - x_1z_2 + 2\,z_1z_2
e pede para verificar se isso é um produto interno (ou seja, forma bilinear, simétrica e definida positiva) e, em caso afirmativo, achar sua matriz (hermitiana) na base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria. É claro que \langle\cdot,\cdot\rangle é linear em cada argumento pois cada termo é produto de coordenadas. Para a simetria, comparemos
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle \quad\text{com}\quad \langle (x_2,y_2,z_2),(x_1,y_1,z_1)\rangle.
Os termos x_1x_2, y_1y_2 e 2z_1z_2 trocam de lugar sem mudar, e
-\,z_1x_2 - x_1z_2 \quad\longleftrightarrow\quad -\,z_2x_1 - x_2z_1
são iguais. Logo é simétrica.

Passo 3

A parte mais importante é testar positividade:
\langle (x,y,z),(x,y,z)\rangle = x^2 -2\,x z + y^2 + 2\,z^2.
Reescrevendo,
x^2 -2xz +2z^2 +y^2 =(x-z)^2 + z^2 + y^2.
Esse soma de quadrados é zero somente se x-z=0, z=0 e y=0, isto é, só para o vetor nulo. Portanto \langle v,v\rangle>0 sempre que v\neq0, confirmando a definição de produto interno.

Passo 4

Agora, para achar a matriz A de \langle\cdot,\cdot\rangle na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculamos
a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle.
Fazendo isso, obtemos
a_{11}=1,\\ a_{22}=1,\\ a_{33}=2,\\ a_{13}=a_{31}=-1,
e todos os demais a_{ij}=0. Assim
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que é simétrica (logo hermitiana em \mathbb{R}).

Resposta

O aplicativo é um produto interno em \mathbb{R}^3 e sua matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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