Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{C}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{C},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} \overline{x_{2}}+i y_{1} \overline{x_{2}}-i x_{1} \overline{y_{2}}+2 y_{1} \overline{y_{2}}+z_{1} \overline{z_{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathbb{C}^3 e a aplicação
Queremos verificar que isso é um produto interno em V (sesquilinear, conjugado simétrico e definido positivo) e, em caso afirmativo, achar a matriz hermitiana correspondente à base canônica.
Passo 2
(Conjugado simétrico) Seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então