Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{C}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{C},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} \overline{x_{2}}+i y_{1} \overline{x_{2}}-i x_{1} \overline{y_{2}}+2 y_{1} \overline{y_{2}}+z_{1} \overline{z_{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathbb{C}^3 e a aplicação
\langle(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle = x_1\overline{x_2} + i\,y_1\overline{x_2} - i\,x_1\overline{y_2} +2\,y_1\overline{y_2} +z_1\overline{z_2}.
Queremos verificar que isso é um produto interno em V (sesquilinear, conjugado simétrico e definido positivo) e, em caso afirmativo, achar a matriz hermitiana correspondente à base canônica.

Passo 2

(Conjugado simétrico) Seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
\langle v,u\rangle = x_2\overline{x_1} + i\,y_2\overline{x_1} - i\,x_2\overline{y_1} +2\,y_2\overline{y_1} +z_2\overline{z_1}.
Por outro lado,
\overline{\langle u,v\rangle} = \overline{x_1\overline{x_2}} + \overline{i\,y_1\overline{x_2}} - \overline{i\,x_1\overline{y_2}} + \overline{2\,y_1\overline{y_2}} + \overline{z_1\overline{z_2}} = x_2\overline{x_1} + i\,y_2\overline{x_1} - i\,x_2\overline{y_1} +2\,y_2\overline{y_1} +z_2\overline{z_1}.
Logo \langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}, ou seja, a forma é conjugado‐simétrica.

Passo 3

(Definido positivo) Para v=(x,y,z),
\langle v,v\rangle =|x|^2 + i\,y\overline{x} - i\,x\overline{y} +2\,|y|^2 +|z|^2.
Agrupando os dois primeiros termos num produto bilinear, escrevemos
\langle v,v\rangle =\begin{pmatrix}\overline{x}&\overline{y}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -i\\[6pt]i & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} +|z|^2.
A matriz
M=\begin{pmatrix}1 & -i\\[3pt]i & 2\end{pmatrix}
é hermitiana e tem menores principais 1>0 e \det M=2-1=1>0, portanto é positiva‐definida. Assim \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq0.]

Passo 4

(Matriz na base canônica) Seja e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1). Calculamos
a_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle.
Os valores não nulos são
a_{11}=1,\quad a_{12}=\langle e_1,e_2\rangle=-i,\quad a_{21}=i,\quad a_{22}=2,\quad a_{33}=1,
e os demais são zero. Logo a matriz hermitiana é
A=\begin{pmatrix} 1 & -i & 0\\[3pt] i & 2 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A forma é um produto interno em \mathbb{C}^3 e sua matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & -i & 0\\\ i & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados