Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em
. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=P(\mathbb{R}) (espaço dos polinômios com coeficientes reais), \mathbb{K}=\mathbb{R},\langle p, q\rangle=p(1) q(1)
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em
V=P(\mathbb{R}) (espaço dos polinômios com coeficientes reais), \mathbb{K}=\mathbb{R},\langle p, q\rangle=p(1) q(1)
Passo 1
Estamos no espaço
dos polinômios reais e definimos
Para ser produto interno em
(sobre
) devemos ter:
- Bilinearidade em cada argumento,
- Simetria,
- Positividade estrita:
sempre que .
Passo 2
Verificamos bilinearidade e simetria. Para quaisquer
e
:
e obviamente
. Logo, é forma bilinear simétrica.
Passo 3
Testamos positividade estrita. Para qualquer
:
Porém, se escolhermos
, que é polinômio não nulo, temos
e então
Isso viola a condição de positividade estrita
para todo
.