Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=P(\mathbb{R}) (espaço dos polinômios com coeficientes reais), \mathbb{K}=\mathbb{R},\langle p, q\rangle=p(1) q(1)

Passo 1

Estamos no espaço V = P(\mathbb{R}) dos polinômios reais e definimos
\langle p,q\rangle = p(1)\,q(1).
Para ser produto interno em V (sobre \mathbb{K}=\mathbb{R}) devemos ter:
  1. Bilinearidade em cada argumento,
  2. Simetria,
  3. Positividade estrita: \langle p,p\rangle>0 sempre que p\neq0.

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria. Para quaisquer p,q,r\in V e \alpha\in\mathbb{R}:
\langle p+q,r\rangle = (p+q)(1)\,r(1) = p(1)\,r(1) + q(1)\,r(1) = \langle p,r\rangle + \langle q,r\rangle,
\langle \alpha p,q\rangle = (\alpha p)(1)\,q(1) = \alpha\,p(1)\,q(1) = \alpha\,\langle p,q\rangle,
e obviamente \langle p,q\rangle = p(1)\,q(1) = q(1)\,p(1) = \langle q,p\rangle. Logo, é forma bilinear simétrica.

Passo 3

Testamos positividade estrita. Para qualquer p\in V:
\langle p,p\rangle = p(1)^2 \ge 0.
Porém, se escolhermos p(x)=x-1, que é polinômio não nulo, temos p(1)=0 e então
\langle p,p\rangle = 0.
Isso viola a condição de positividade estrita \langle p,p\rangle>0 para todo p\neq0.

Resposta

\langle p,q\rangle = p(1)\,q(1) não é um produto interno em P(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados