Para cada um dos casos do Problema 29, determine
. Compare o resultado com
para estimar qual dos parâmetros está associado à resposta calculando o ângulo, usando o produto escalar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas vetores,
e
, e precisa calcular a magnitude (ou seja, o tamanho) do produto vetorial entre eles, que é representado por
. Depois, vamos comparar esse resultado com o produto das magnitudes individuais dos vetores,
, para descobrir o ângulo entre eles usando o produto escalar. Basicamente, vamos mexer com vetores, produtos vetoriais e escalares, e trigonometria para encontrar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse produto vetorial é dada por:
Onde
é o ângulo entre
e
. Vamos supor que temos os valores das magnitudes de
e
e queremos encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar, que é dado por:
Esse produto escalar nos ajuda a encontrar o ângulo
entre os dois vetores. Depois de encontrarmos
, podemos usar a relação do produto vetorial para achar
.
Passo 4
Vamos fazer um exemplo para ficar mais claro. Suponha que:
E o produto escalar
é 12. Primeiro, encontramos o ângulo
:
Então,
Passo 5
Agora que temos o ângulo, podemos calcular a magnitude do produto vetorial:
Calculando o seno de
:
Então,
Resposta
A magnitude do produto vetorial
é igual a 9, que é menor que o produto das magnitudes individuais
. Isso indica que o ângulo entre os vetores é de aproximadamente
.