Para cada EDO autônoma, esboce o gráfico de f(x) versus x, determine os pontos de equilibrio e classifique-os em assintoticamente estável ou instável, desenhe o retrato de fase e esboce varios gráficos das soluções no plano tx.
x' = a x + b x^2, a > 0, b > 0, x0 ≥ 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) autônomas. Precisamos esboçar o gráfico de versus , determinar os pontos de equilíbrio, classificá-los como assintoticamente estáveis ou instáveis, desenhar o retrato de fase e esboçar vários gráficos das soluções no plano . A EDO dada é:
Para resolver, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função da EDO. A EDO está na forma:
Aqui, é uma função polinomial de segundo grau em .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico de versus . Sabemos que:
Como e , o gráfico de será uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. O gráfico intercepta o eixo em .

Passo 4

Em seguida, determinamos os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de onde :
As soluções são:
No entanto, dado que e , o único ponto de equilíbrio relevante é .

Passo 5

Vamos agora classificar o ponto de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável. Para isso, analisamos a derivada de em relação a :
Avaliamos em :
Como , o ponto de equilíbrio é instável. Isso significa que soluções próximas a se afastam desse ponto conforme aumenta.

Passo 6

Vamos desenhar o retrato de fase. No eixo , marcamos o ponto de equilíbrio em . Como o ponto é instável, as setas no retrato de fase indicarão que, para , as soluções se afastam de , indo para crescendo indefinidamente.

Passo 7

Por fim, esboçamos vários gráficos das soluções no plano para diferentes condições iniciais . Como o ponto de equilíbrio é instável, todas as soluções com irão crescer exponencialmente, afastando-se de à medida que aumenta.

Resposta

O gráfico de é uma parábola que abre para cima, com único ponto de equilíbrio em . Este ponto é instável, conforme a derivada indica. O retrato de fase mostra que todas as soluções com se afastam de conforme aumenta, e os gráficos das soluções no plano demonstram crescimento exponencial para .

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