Para cada EDO autônoma, esboce o gráfico de
versus
, determine os pontos de equilibrio e classifique-os em assintoticamente estável ou instável, desenhe o retrato de fase e esboce varios gráficos das soluções no plano tx.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) autônomas. Precisamos esboçar o gráfico de
versus
, determinar os pontos de equilíbrio, classificá-los como assintoticamente estáveis ou instáveis, desenhar o retrato de fase e esboçar vários gráficos das soluções no plano
. A EDO dada é:
Para resolver, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
da EDO. A EDO está na forma:
Aqui,
é uma função polinomial de segundo grau em
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de
versus
. Sabemos que:
Como
e
, o gráfico de
será uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo. O gráfico intercepta o eixo
em
.
Passo 4
Em seguida, determinamos os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de
onde
:
As soluções são:
No entanto, dado que
e
, o único ponto de equilíbrio relevante é
.
Passo 5
Vamos agora classificar o ponto de equilíbrio
como assintoticamente estável ou instável. Para isso, analisamos a derivada de
em relação a
:
Avaliamos em
:
Como
, o ponto de equilíbrio
é instável. Isso significa que soluções próximas a
se afastam desse ponto conforme
aumenta.
Passo 6
Vamos desenhar o retrato de fase. No eixo
, marcamos o ponto de equilíbrio em
. Como o ponto é instável, as setas no retrato de fase indicarão que, para
, as soluções se afastam de
, indo para
crescendo indefinidamente.
Passo 7
Por fim, esboçamos vários gráficos das soluções no plano
para diferentes condições iniciais
. Como o ponto de equilíbrio é instável, todas as soluções com
irão crescer exponencialmente, afastando-se de
à medida que
aumenta.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola que abre para cima, com único ponto de equilíbrio em
. Este ponto é instável, conforme a derivada
indica. O retrato de fase mostra que todas as soluções com
se afastam de
conforme
aumenta, e os gráficos das soluções no plano
demonstram crescimento exponencial para
.