Para cada EDO de 1 a ordem abaixo identificar todas as técnicas de resolução que podem ser aplicadas em uma mesma EDO, justificando sua resposta:
2 x y d x+\left(x^{2}-1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
2x\,y\,dx + (x^2 - 1)\,dy = 0,
ou seja, M(x,y)=2x\,y e N(x,y)=x^2-1. Vamos verificar sistematicamente quais métodos de solução se aplicam: variáveis separáveis, exatidão e equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Verificação de variáveis separáveis.
Partindo de
2x\,y\,dx + (x^2 - 1)\,dy = 0
podemos isolar dy e dx:
(x^2 - 1)\,dy = -2x\,y\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -\frac{2x}{x^2 - 1}\,dx.
Observamos que os lados envolvem apenas y e x separadamente, logo é uma equação de variáveis separáveis.

Passo 3

Verificação de exatidão.
Para a forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 ser exata, deve valer
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui,
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x\,y) = 2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 1) = 2x.
Como coincidem, a equação é exata e pode ser resolvida encontrando um potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M e \Psi_y = N.

Passo 4

Verificação de linearidade.
Reescrevendo em forma explícita de dy/dx:
2x\,y + (x^2 - 1)\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\,x^2 - 1\,}\,y = 0.
Isto é uma equação linear de primeira ordem no formato
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = 0
com P(x)=2x/(x^2-1). Logo também podemos aplicar o método do fator integrante.

Resposta

As técnicas aplicáveis à mesma equação são:
(a) variáveis separáveis,
(b) exatidão e
(c) equação linear de primeira ordem (fator integrante).

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