Para cada EDO de 1 a ordem abaixo identificar todas as técnicas de resolução que podem ser aplicadas em uma mesma EDO, justificando sua resposta:
x d y=[x \operatorname{sen}(x)-y] d x

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x\,dy = \bigl[x\sin(x) - y\bigr]\,dx
e pede para identificar todas as técnicas de resolução aplicáveis. O conteúdo é EDO de primeira ordem e vamos testar as formas padrão: separável, homogênea, linear e exata.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de derivada, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{x\sin(x)-y}{x} = \sin(x) - \frac{y}{x}.
Para ser separável, precisaríamos escrever \frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y), mas aqui há mistura não fatorável entre x e y. Logo, não é separável.

Passo 3

Uma EDO homogênea satisfazeria \frac{dy}{dx}=f(y/x). Aqui
f(x,y)=\sin(x)-\frac{y}{x}
não depende apenas de y/x (o termo \sin(x) impede). Portanto, a equação não é homogênea.

Passo 4

Podemos colocar em forma padrão de equação linear:
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = \sin(x).
Isso identifica uma EDO linear de 1ª ordem com
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\sin(x).

Passo 5

Na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 obtemos
M = x\sin(x) - y, \quad N = -\,x.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -1,
como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 6

Concluímos que podem ser usadas simultaneamente as seguintes técnicas:
– Equação linear de 1ª ordem (por fator integrante ou variação de constantes)
– Equação exata

Resposta

  • Equação linear de primeira ordem (fator integrante e método de variação de constantes)
  • Equação exata

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