Para cada EDO de 1 a ordem abaixo identificar todas as técnicas de resolução que podem ser aplicadas em uma mesma EDO, justificando sua resposta:
x d y=[x \operatorname{sen}(x)-y] d x
x d y=[x \operatorname{sen}(x)-y] d x
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede para identificar todas as técnicas de resolução aplicáveis. O conteúdo é EDO de primeira ordem e vamos testar as formas padrão: separável, homogênea, linear e exata.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita de derivada, temos
Para ser separável, precisaríamos escrever
, mas aqui há mistura não fatorável entre
e
. Logo, não é separável.
Passo 3
Uma EDO homogênea satisfazeria
. Aqui
não depende apenas de
(o termo
impede). Portanto, a equação não é homogênea.
Passo 4
Podemos colocar em forma padrão de equação linear:
Isso identifica uma EDO linear de 1ª ordem com
Passo 5
Na forma diferencial
obtemos
Calculamos
como
, a equação é exata.
Passo 6
Concluímos que podem ser usadas simultaneamente as seguintes técnicas:
– Equação linear de 1ª ordem (por fator integrante ou variação de constantes)
– Equação exata
– Equação linear de 1ª ordem (por fator integrante ou variação de constantes)
– Equação exata
Resposta
- Equação linear de primeira ordem (fator integrante e método de variação de constantes)
- Equação exata