Para cada EDO de 1 a ordem abaixo identificar todas as técnicas de resolução que podem ser aplicadas em uma mesma EDO, justificando sua resposta:
\left(1+e^{x}\right) y^{\prime}+e^{x} y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de 1ª ordem
(1+e^{x})\,y' + e^{x}\,y = 0.
O objetivo é classificar quais métodos de resolução de EDO de 1ª ordem podem ser aplicados a esta equação.

Passo 2

Escrevendo em forma linear padrão, dividindo toda a equação por (1+e^{x}), obtém-se
y' + \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,y = 0.
Portanto é uma EDO linear de 1ª ordem, que admite solução por fator integrante.

Passo 3

Pode-se também ver que a equação é separável. De fato,
\frac{y'}{y} = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}},
o que permite escrever
\frac{dy}{y} = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.

Passo 4

Reescrevendo como forma diferencial
e^{x}\,y\,dx + (1+e^{x})\,dy = 0
temos M(x,y)=e^{x}y e N(x,y)=1+e^{x}. Como
\frac{\partial M}{\partial y}=e^{x} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=e^{x},
a equação é exata.

Resposta

As técnicas aplicáveis são separação de variáveis, EDO linear de 1ª ordem (fator integrante) e resolução por exatidão.

Exercícios relacionados