Para cada equação determine d yd x.
(x-2)^3+x y=y^3.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para que a gente determine a derivada d yd x da equação (x-2)^3+x y=y^3. Essa é uma questão de cálculo diferencial, mais especificamente sobre a derivada implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia nas derivadas.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é derivar cada termo da equação em relação a x. Vamos lá!
A equação que temos é:
(x - 2)^3 + x y = y^3
Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Para o primeiro termo, (x - 2)^3, aplicamos a regra da cadeia:
    • A derivada de (x - 2)^3 é 3(x - 2)^2 cdot d (x - 2)d x = 3(x - 2)^2 cdot 1 = 3(x - 2)^2.
  2. Para o segundo termo, x y, que é um produto (já que temos x e y), usamos a regra do produto:
    • A derivada é y + x cdot d yd x.
  3. Para o terceiro termo, y^3, novamente aplicamos a regra da cadeia:
    • A derivada de y^3 é 3y^2 cdot d yd x.
Agora, juntando tudo, a derivada da equação é:
3(x - 2)^2 + (y + x cdot d yd x) = 3y^2 cdot d yd x

Passo 3

Agora que derivamos tudo, vamos organizar os termos. Vamos isolar todos os termos que contêm d yd x de um lado da equação:
3(x - 2)^2 + y = 3y^2 cdot d yd x - x cdot d yd x
Podemos simplificar isso para:
3(x - 2)^2 + y = d yd x (3y^2 - x)
Agora, isolamos d yd x:
d yd x = 3(x - 2)^2 + y3y^2 - x

Resposta

Portanto, a resposta que estamos procurando é:
d yd x = 3(x - 2)^2 + y3y^2 - x

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