Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede três coisas: o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau da equação.
Passo 2
Definição de tipo (EDO versus EDP).
- Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias de uma função em relação a uma única variável independente, por exemplo
e derivadas como , , . - Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente, usando notação como
, , etc.
Na nossa equação aparecem apenas derivadas ordinárias deem relação a (escrito e ) e não há derivadas parciais. Portanto o tipo é EDO.
Passo 3
Definição de ordem.
- A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação.
Na equação dada as derivadas presentes são(segunda ordem) e (quarta ordem). A maior ordem é a quarta, então a ordem da equação é .
Passo 4
Definição de grau.
- O grau de uma equação diferencial é o expoente inteiro (positivo) da maior derivada, depois que a equação foi escrita de forma polinomial nas derivadas (ou seja, sem raízes, frações com derivadas no denominador, funções transcendentes das derivadas, etc.).
- Se a equação não puder ser colocada como um polinômio nas derivadas, diz-se que o grau é indefinido.
Na equação dada a maior derivadaaparece com potência e a equação já é polinomial nas derivadas (não há raízes nem funções não polinomiais de derivadas). Logo o grau é .
Passo 5
Resumo e observação pedagógica: a equação é uma EDO porque só tem derivadas ordinárias em relação a uma variável; sua ordem é dada pela maior derivada presente (
); seu grau é o expoente dessa maior derivada na expressão após escrever a equação como polinômio nas derivadas (aqui é
). Um exemplo rápido de quando o grau seria indefinido:
tem grau indefinido porque
impede escrever a equação como polinômio em
.
Resposta
Tipo: EDO
Ordem:
Grau:
Ordem:
Grau: