Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
8. y^{(4)}+y^{\prime \prime}=e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{(4)} + y'' = e^{x}
e pede três coisas: o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau da equação.

Passo 2

Definição de tipo (EDO versus EDP).
  • Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias de uma função em relação a uma única variável independente, por exemplo y(x) e derivadas como y', y'', y^{(4)}.
  • Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente, usando notação como \partial u/\partial x, \partial^2 u/\partial x\partial y, etc.
    Na nossa equação aparecem apenas derivadas ordinárias de y em relação a x (escrito \,y^{(4)} e \,y'') e não há derivadas parciais. Portanto o tipo é EDO.

Passo 3

Definição de ordem.
  • A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação.
    Na equação dada as derivadas presentes são \,y'' (segunda ordem) e \,y^{(4)} (quarta ordem). A maior ordem é a quarta, então a ordem da equação é \,4.

Passo 4

Definição de grau.
  • O grau de uma equação diferencial é o expoente inteiro (positivo) da maior derivada, depois que a equação foi escrita de forma polinomial nas derivadas (ou seja, sem raízes, frações com derivadas no denominador, funções transcendentes das derivadas, etc.).
  • Se a equação não puder ser colocada como um polinômio nas derivadas, diz-se que o grau é indefinido.
    Na equação dada a maior derivada \,y^{(4)} aparece com potência 1 e a equação já é polinomial nas derivadas (não há raízes nem funções não polinomiais de derivadas). Logo o grau é \,1.

Passo 5

Resumo e observação pedagógica: a equação é uma EDO porque só tem derivadas ordinárias em relação a uma variável; sua ordem é dada pela maior derivada presente ( 4); seu grau é o expoente dessa maior derivada na expressão após escrever a equação como polinômio nas derivadas (aqui é 1). Um exemplo rápido de quando o grau seria indefinido: \sqrt{y''}+y=0 tem grau indefinido porque \sqrt{y''} impede escrever a equação como polinômio em y''.

Resposta

Tipo: EDO
Ordem: 4
Grau: 1