Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
12. \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação fornecida, eu determine três coisas: (1) o tipo (EDO ou EDP), (2) a ordem e (3) o grau. A equação dada é \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0.
Informações explícitas que já aparecem na própria equação:
  • A incógnita é a função u, escrita com derivadas parciais em relação a t e x, portanto u depende (pelo menos) de x e t.
  • Há derivadas com o operador de derivada parcial \partial.
  • O parâmetro c aparece multiplicando a derivada; c é tratado como constante (não é uma derivada).

Passo 2

O que diferencia EDO de EDP?
  • Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias \frac{d}{dx} da incógnita em relação a uma única variável independente.
  • Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial t},\dots da incógnita em relação a duas ou mais variáveis independentes.
Na equação temos os símbolos \partial e aparecem derivadas em relação a t e em relação a x. Isso indica que a função u tem mais de uma variável independente e que estamos tratando derivadas parciais. Portanto a equação é uma EDP. (Dica prática para a prova: sempre que vir \partial em vez de d, pense em EDP.)

Passo 3

Como determinar a ordem?
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
Na equação aparecem \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} e \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, que são derivadas de segunda ordem. Não aparecem derivadas de ordem maior. Logo a ordem é \,2.
(Exemplo paralelo: se tivesse \frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}} a ordem seria \,3.)

Passo 4

Como determinar o grau?
Definição: o grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior ordem de derivada quando a equação está escrita numa forma algébrica polinomial em relação às derivadas. O grau só está bem definido se a equação for polinomial nas derivadas (ou seja, não apareçam raízes, funções trigonométricas, exponenciais, etc., aplicadas às derivadas).
Na equação dada cada derivada de maior ordem aparece com expoente 1: \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} e \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} aparecem linearmente (não estão elevadas ao quadrado nem dentro de funções não polinomiais). Portanto, escrita de forma polinomial a equação é de grau 1.
(Observação útil para a prova: se víssemos algo como \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} o grau seria 2; se aparecesse \sin\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right), o grau não estaria definido.)

Passo 5

Resumo interpretativo rápido (estilo amigo): essa equação é a famosa equação da onda linear homogênea unidimensional; o fato de ter \partial^2/\partial t^2 e \partial^2/\partial x^2 já dá a dica: EDP, segunda ordem, grau um. Mantém a calma — é uma classificação direta que cai muito em provas.

Resposta

Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Ordem: \,2
Grau: \,1