Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
12.
12.
Passo 1
O enunciado pede que, para a equação fornecida, eu determine três coisas: (1) o tipo (EDO ou EDP), (2) a ordem e (3) o grau. A equação dada é
.
Informações explícitas que já aparecem na própria equação:
Informações explícitas que já aparecem na própria equação:
- A incógnita é a função
, escrita com derivadas parciais em relação a e , portanto depende (pelo menos) de e . - Há derivadas com o operador de derivada parcial
. - O parâmetro
aparece multiplicando a derivada; é tratado como constante (não é uma derivada).
Passo 2
O que diferencia EDO de EDP?
- Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas ordinárias
da incógnita em relação a uma única variável independente. - Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais
da incógnita em relação a duas ou mais variáveis independentes.
Na equação temos os símbolos
e aparecem derivadas em relação a
e em relação a
. Isso indica que a função
tem mais de uma variável independente e que estamos tratando derivadas parciais. Portanto a equação é uma EDP. (Dica prática para a prova: sempre que vir
em vez de
, pense em EDP.)
Passo 3
Como determinar a ordem?
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
Na equação aparecem e
, que são derivadas de segunda ordem. Não aparecem derivadas de ordem maior. Logo a ordem é
.
(Exemplo paralelo: se tivesse a ordem seria
.)
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
Na equação aparecem
(Exemplo paralelo: se tivesse
Passo 4
Como determinar o grau?
Definição: o grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior ordem de derivada quando a equação está escrita numa forma algébrica polinomial em relação às derivadas. O grau só está bem definido se a equação for polinomial nas derivadas (ou seja, não apareçam raízes, funções trigonométricas, exponenciais, etc., aplicadas às derivadas).
Na equação dada cada derivada de maior ordem aparece com expoente :
e
aparecem linearmente (não estão elevadas ao quadrado nem dentro de funções não polinomiais). Portanto, escrita de forma polinomial a equação é de grau
.
(Observação útil para a prova: se víssemos algo como o grau seria
; se aparecesse
, o grau não estaria definido.)
Definição: o grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior ordem de derivada quando a equação está escrita numa forma algébrica polinomial em relação às derivadas. O grau só está bem definido se a equação for polinomial nas derivadas (ou seja, não apareçam raízes, funções trigonométricas, exponenciais, etc., aplicadas às derivadas).
Na equação dada cada derivada de maior ordem aparece com expoente
(Observação útil para a prova: se víssemos algo como
Passo 5
Resumo interpretativo rápido (estilo amigo): essa equação é a famosa equação da onda linear homogênea unidimensional; o fato de ter
e
já dá a dica: EDP, segunda ordem, grau um. Mantém a calma — é uma classificação direta que cai muito em provas.
Resposta
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Ordem:
Grau:
Ordem:
Grau: