Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar a função inversa
e indicar o domínio dessa inversa. As informações que temos explicitamente são: a expressão algébrica de
e a solicitação da inversa com seu domínio. Não vamos ainda resolver — apenas sabemos que precisamos isolar
em termos de
quando escrevermos
.
Passo 2
Conceito essencial (mini-aula): o que significa “função inversa”? Se
, a inversa
é a função que, dada
, retorna o
que gerou esse
. Para encontrar
normalmente fazemos:
e então resolvemos essa equação para
em função de
. Depois trocamos as letras para ter uma expressão do tipo
.
Outra coisa importante: a existência e o domínio da inversa dependem de a função ser bijetora entre seu domínio e sua imagem. No nosso caso usamos a propriedade conhecida da função
(arco-tangente):
está definida para todos os reais e tem imagem (contradomínio essencial) igual ao intervalo aberto
. A função
é bijetora de
em
. Portanto
é bijetora de
em
e admite inversa cujo domínio será exatamente
. Agora vamos executar o procedimento algébrico.
Passo 3
Começo o procedimento padrão: escrevo
e isolo
.
Aplicando a tangente (função inversa de
no ramo principal) em ambos os lados, obtemos
Aqui usei que, para
, vale
e
. Agora isolo
:
Passo 4
Finalmente escrevo a inversa trocando o nome da variável
por
(prática comum para apresentar a fórmula da função inversa):
Lembre-se do domínio desta expressão: só faz sentido usar
sem ambiguidade na faixa onde
alcança valores, ou seja, em
. Fora desse intervalo a tangente tem descontinuidades (pontos onde não está definida).
Passo 5
Verificação rápida (check que dá segurança na prova): calcular as composições para confirmar que são inversas.
Essas igualdades confirmam que a inversa está correta e que os domínios estão coerentes.