Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela)
\operatorname{arctg} 3 x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\operatorname{arctg}(3x)
e pede para determinar a função inversa f^{-1} e indicar o domínio dessa inversa. As informações que temos explicitamente são: a expressão algébrica de f e a solicitação da inversa com seu domínio. Não vamos ainda resolver — apenas sabemos que precisamos isolar x em termos de y quando escrevermos y=f(x).

Passo 2

Conceito essencial (mini-aula): o que significa “função inversa”? Se y=f(x), a inversa f^{-1} é a função que, dada y, retorna o x que gerou esse y. Para encontrar f^{-1} normalmente fazemos:
y=f(x)
e então resolvemos essa equação para x em função de y. Depois trocamos as letras para ter uma expressão do tipo f^{-1}(x)=\cdots.
Outra coisa importante: a existência e o domínio da inversa dependem de a função ser bijetora entre seu domínio e sua imagem. No nosso caso usamos a propriedade conhecida da função \operatorname{arctg} (arco-tangente): \operatorname{arctg} está definida para todos os reais e tem imagem (contradomínio essencial) igual ao intervalo aberto \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). A função g(x)=3x é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Portanto f(x)=\operatorname{arctg}(3x) é bijetora de \mathbb{R} em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e admite inversa cujo domínio será exatamente \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Agora vamos executar o procedimento algébrico.

Passo 3

Começo o procedimento padrão: escrevo y=f(x) e isolo x.
y=\operatorname{arctg}(3x)
Aplicando a tangente (função inversa de \operatorname{arctg} no ramo principal) em ambos os lados, obtemos
\tan(y)=3x.
Aqui usei que, para y\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), vale \tan(\operatorname{arctg}(t))=t e \operatorname{arctg}(\tan(y))=y. Agora isolo x:
x=\frac{1}{3}\tan(y).

Passo 4

Finalmente escrevo a inversa trocando o nome da variável y por x (prática comum para apresentar a fórmula da função inversa):
f^{-1}(x)=\frac{1}{3}\tan(x).
Lembre-se do domínio desta expressão: só faz sentido usar \tan(x) sem ambiguidade na faixa onde \operatorname{arctg} alcança valores, ou seja, em x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Fora desse intervalo a tangente tem descontinuidades (pontos onde não está definida).

Passo 5

Verificação rápida (check que dá segurança na prova): calcular as composições para confirmar que são inversas.
f(f^{-1}(x))=\operatorname{arctg}\big(3\cdot \tfrac{1}{3}\tan(x)\big)=\operatorname{arctg}(\tan(x))=x \quad\text{para }x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
f^{-1}(f(x))=\tfrac{1}{3}\tan\big(\operatorname{arctg}(3x)\big)=\tfrac{1}{3}\cdot 3x=x \quad\text{para }x\in\mathbb{R}.
Essas igualdades confirmam que a inversa está correta e que os domínios estão coerentes.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}\tan(x)\nDomínio: \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)