Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
f(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede, para a função \displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-4}}, que determinemos:
a) Números críticos;
b) Intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Extremos locais (máximos e mínimos).
A única informação direta dada é a expressão da função \displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-4}}. Vou usar essa expressão para obter tudo o que precisamos (domínio, derivada, sinais etc.) nos passos seguintes.

Passo 2

Encontrar o domínio de \displaystyle f.
A raiz quadrada no denominador exige que o radicando seja positivo (não pode ser zero porque o denominador não pode ser zero). Então precisamos de
x^{2}-4>0.
Resolver x^{2}-4>0 |x|>2, isto é
\text{domínio: }\;(-\infty,-2)\cup(2,\infty).í
Observação: os pontos x=\pm 2 não pertencem ao domínio porque aí \sqrt{x^{2}-4}=0 e o denominador seria zero.

Passo 3

Calcular a derivada \displaystyle f'(x). Vou reescrever f como produto para aplicar regras de derivação de forma clara:
f(x)=(2x-1)\,(x^{2}-4)^{-1/2}.
Usamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=2x-1 e v(x)=(x^{2}-4)^{-1/2}. Então u'(x)=2. Para v'(x) usamos a regra da cadeia: se v=(g)^{\alpha} então v'=\alpha g^{\alpha-1}g'. Aplicando:
v'(x)=(-\tfrac{1}{2})(x^{2}-4)^{-3/2}\cdot(2x) = -x\,(x^{2}-4)^{-3/2}.
Agora aplicando produto:
f'(x)=2\,(x^{2}-4)^{-1/2} + (2x-1)\bigl(-x\,(x^{2}-4)^{-3/2}\bigr).
Colocamos em comum o fator (x^{2}-4)^{-3/2} (mais legível como denominador (x^{2}-4)^{3/2}):
f'(x)=\frac{2(x^{2}-4) - x(2x-1)}{(x^{2}-4)^{3/2}}.
Calculemos o numerador:
2(x^{2}-4) - x(2x-1)=2x^{2}-8 -2x^{2}+x = x-8.
Portanto a derivada simplificada é
\boxed{\,f'(x)=\frac{x-8}{(x^{2}-4)^{3/2}}\,}
válida para x no domínio (-\infty,-2)\cup(2,\infty).

Passo 4

Determinar os números críticos.
Por definição, números críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f' não existe.
  • Zeros de f': resolver \displaystyle \frac{x-8}{(x^{2}-4)^{3/2}}=0 equivale a x-8=0, portanto x=8. E x=8 pertence ao domínio (2,\infty), logo é um número crítico.
  • Pontos onde f' não existe: isso ocorreria se (x^{2}-4)^{3/2}=0, isto é x=\pm 2, mas esses pontos não pertencem ao domínio de f, então não são números críticos (são pontos excluídos).
    Conclusão: o único número crítico da função é x=8.

Passo 5

Determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de f'(x).
Observação: para todo x no domínio temos (x^{2}-4)^{3/2}>0, logo o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador x-8. Assim:
  • Se x-8>0 (isto é, x>8) então f'(x)>0 f é crescente.
  • Se x-8<0 (isto é, x<8) então f'(x)<0 f é decrescente.
    Agora intersectamos isso com o domínio (-\infty,-2)\cup(2,\infty). Os intervalos naturais de análise são (-\infty,-2), (2,8) e (8,\infty). Tomando pontos-teste (por exemplo x=-3,\,x=3,\,x=9) confirmamos:
  • Em \;(-\infty,-2): escolhemos x=-3. Como -3<8 temos f'<0 f é decrescente em (-\infty,-2).
  • Em \;(2,8): escolhemos x=3. Como 3<8 temos f'<0 f é decrescente em (2,8).
  • Em \;(8,\infty): escolhemos x=9. Como 9>8 temos f'>0 f é crescente em (8,\infty).
Portanto:
\text{\(f\) é decrescente em }\;(-\infty,-2)\;\text{ e em }\;(2,8),é
\text{\(f\) é crescente em }\;(8,\infty).é

Passo 6

Determinar extremos locais usando a troca de sinal de f'.
Temos apenas um número crítico x=8. Observando os intervalos: à esquerda de 8 (no intervalo (2,8)) f'<0 e à direita de 8 (no intervalo (8,\infty)) f'>0. Isso é a típica mudança “decrescente → crescente”, portanto em x=8 há um mínimo local.
Agora calculamos o valor de f em x=8:
f(8)=\frac{2\cdot 8 -1}{\sqrt{8^{2}-4}}=\frac{16-1}{\sqrt{64-4}}=\frac{15}{\sqrt{60}}.
Simplificando \sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}, obtemos
f(8)=\frac{15}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.
Não há máximos locais porque não existe ponto onde f' troque de positivo para negativo dentro do domínio.

Resposta

a) x=8
b) Crescimento: (8,\infty). \n Decrescimento: (-\infty,-2)\cup(2,8).
c) Mínimo local em x=8 com valor f(8)=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.