Para cada função abaixo, determine:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
a) Números críticos
b)Intervalos de crescimento e decrescimento
c) Extremos locais (máximos e mínimos)
Funções:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, que determinemos:
a) Números críticos;
b) Intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Extremos locais (máximos e mínimos).
A única informação direta dada é a expressão da função . Vou usar essa expressão para obter tudo o que precisamos (domínio, derivada, sinais etc.) nos passos seguintes.
a) Números críticos;
b) Intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Extremos locais (máximos e mínimos).
A única informação direta dada é a expressão da função
Passo 2
Encontrar o domínio de
.
A raiz quadrada no denominador exige que o radicando seja positivo (não pode ser zero porque o denominador não pode ser zero). Então precisamos de
A raiz quadrada no denominador exige que o radicando seja positivo (não pode ser zero porque o denominador não pode ser zero). Então precisamos de
Resolver
dá
, isto é
Observação: os pontos
não pertencem ao domínio porque aí
e o denominador seria zero.
Passo 3
Calcular a derivada
. Vou reescrever
como produto para aplicar regras de derivação de forma clara:
Usamos a regra do produto:
. Aqui
e
. Então
. Para
usamos a regra da cadeia: se
então
. Aplicando:
Agora aplicando produto:
Colocamos em comum o fator
(mais legível como denominador
):
Calculemos o numerador:
Portanto a derivada simplificada é
válida para
no domínio
.
Passo 4
Determinar os números críticos.
Por definição, números críticos são pontos do domínio onde ou onde
não existe.
Por definição, números críticos são pontos do domínio onde
- Zeros de
: resolver equivale a , portanto . E pertence ao domínio , logo é um número crítico. - Pontos onde
não existe: isso ocorreria se , isto é , mas esses pontos não pertencem ao domínio de , então não são números críticos (são pontos excluídos).
Conclusão: o único número crítico da função é.
Passo 5
Determinar intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de
.
Observação: para todo no domínio temos
, logo o sinal de
é o mesmo do numerador
. Assim:
Observação: para todo
- Se
(isto é, ) então ⇒ é crescente. - Se
(isto é, ) então ⇒ é decrescente.
Agora intersectamos isso com o domínio. Os intervalos naturais de análise são , e . Tomando pontos-teste (por exemplo ) confirmamos: - Em
: escolhemos . Como temos ⇒ é decrescente em . - Em
: escolhemos . Como temos ⇒ é decrescente em . - Em
: escolhemos . Como temos ⇒ é crescente em .
Portanto:
Passo 6
Determinar extremos locais usando a troca de sinal de
.
Temos apenas um número crítico . Observando os intervalos: à esquerda de
(no intervalo
)
e à direita de
(no intervalo
)
. Isso é a típica mudança “decrescente → crescente”, portanto em
há um mínimo local.
Agora calculamos o valor de em
:
Temos apenas um número crítico
Agora calculamos o valor de
Simplificando
, obtemos
Não há máximos locais porque não existe ponto onde
troque de positivo para negativo dentro do domínio.
Resposta
a)
b) Crescimento: . \n Decrescimento:
.
c) Mínimo local em com valor
.
b) Crescimento:
c) Mínimo local em