Para cada função composta abaixo, identifique as funções mais simples envolvidas e a ordem de aplicação, seguindo o modelo:
Exemplo: f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)
x \rightarrow x^{2} \rightarrow \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)
Funções: (\cdot)^{2} e \operatorname{sen}(\cdot)
(d) p(x)=\operatorname{tg}(2 x)

Passo 1

O enunciado fornece a função p(x)=\operatorname{tg}(2 x) e pede para identificar as funções mais simples que a compõem e a ordem de aplicação (no estilo do exemplo). Informação relevante dada:
  • A função composta é p(x)=\operatorname{tg}(2 x).
  • Objetivo: encontrar as funções internas e externas e indicar em que ordem se aplicam.

Passo 2

O que significa “função composta”? Se temos duas funções g e h, a composição g\circ h é a função definida por
(g\circ h)(x)=g(h(x)).
Isto quer dizer: primeiro aplica-se h em x (gera um número intermediário), e depois aplica-se g nesse resultado. A função h é chamada de função interior (ou interna) e g é a função exterior (ou externa).

Passo 3

Olhe para p(x)=\operatorname{tg}(2 x) e localize o “ \operatorname{tg}(\cdot)”: a tangente está atuando sobre toda a expressão 2x. Portanto a parte externa (a função que age por último) é a função tangente. Podemos defini-la como
g(u)=\operatorname{tg}(u),
onde u é uma variável auxiliar/placeholder que representa “o que entra na tangente”.

Passo 4

Agora identifique o que está dentro da tangente: é 2x. Isso é uma função linear que multiplica x por 2. Podemos defini-la como
h(x)=2x.
Essa é a função interna: pega x e devolve 2x.

Passo 5

Juntando as duas: p é a composição de g com h. Em notação temos
p(x)=g(h(x))=\operatorname{tg}(2x).
Na prática isso significa “primeiro pega-se x e calcula-se h(x)=2x; depois aplica-se g nesse resultado, isto é, calcula-se \operatorname{tg}(h(x))=\operatorname{tg}(2x)”.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ordem: para x=\dfrac{\pi}{6},
h\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}, \qquad g\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
Ou seja, primeiro multiplica por 2, depois toma a tangente — a ordem importa!

Resposta

x \rightarrow 2x \rightarrow \operatorname{tg}(2x)
Funções: (\cdot)\mapsto 2(\cdot) e \operatorname{tg}(\cdot)