Para cada função dada abaixo, encontre sua expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
f(x)=\sqrt{x} ; p=9

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor da função f(x)=\sqrt{x} em torno do ponto p=9.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}.
  • O ponto em torno do qual queremos a expansão é p=9.
O que precisamos entregar:
  • Uma expressão da série de Taylor (expansão em potências de x-9), isto é, escrever \sqrt{x} como uma soma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-9)^n
com a fórmula geral para os coeficientes a_n, e mostrar alguns termos iniciais para ver como usar na prova.

Passo 2

Como escolher o método (explicando por que): teoricamente a expansão de Taylor pode ser obtida usando a fórmula com derivadas
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(9)}{n!}(x-9)^n.
Mas para f(x)=\sqrt{x} é muito mais prático fazer a troca x=9+h e usar a série binomial para (1+u)^{\alpha}. Isso evita calcular muitas derivadas complicadas e nos dá rapidamente a forma geral dos coeficientes. Vou usar essa via porque é a mais eficiente na prova e é totalmente válida.

Passo 3

Fazer a mudança de variável centrando em p=9. Seja h=x-9. Então:
\sqrt{x}=\sqrt{9+h}=3\sqrt{1+\frac{h}{9}}.
Aqui peguei que p=9 do enunciado e defini h=x-9 para escrever a função como 3(1+u)^{1/2} com u=\dfrac{h}{9}=\dfrac{x-9}{9}.

Passo 4

Apresentar a série binomial (a “fórmula” que vamos usar) e explicar os símbolos:
Para |u|<1 e qualquer \alpha\in\mathbb{R},
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^n,
onde o coeficiente binomial generalizado é
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
com \binom{\alpha}{0}=1.
No nosso caso \alpha=\tfrac{1}{2}. Vou também calcular alguns \binom{1/2}{n} iniciais para que você veja os números:
\binom{1/2}{0}=1, \qquad \binom{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}, \qquad \binom{1/2}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2!}=-\tfrac{1}{8},
\binom{1/2}{3}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)}{3!}=\tfrac{1}{16}, \qquad \binom{1/2}{4}=-\tfrac{5}{128},
e assim por diante. Isso já mostra os sinais alternados e a diminuição dos coeficientes.

Passo 5

Aplicar a série binomial ao nosso caso. Com u=\dfrac{x-9}{9} e \alpha=\tfrac{1}{2},
\sqrt{x}=3\,(1+u)^{1/2}=3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}u^n =3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x-9}{9}\right)^n.
Essa é a forma compacta e correta da expansão centrada em x=9. Podemos também escrever o termo geral de outra forma, usando 9=3^2:
\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n}\,3^{1-2n}\,(x-9)^n.

Passo 6

Escrever os primeiros termos explícitos (útil na prova para aproximações):
Usando os \binom{1/2}{n} calculados,
\sqrt{x}=3+\frac{1}{6}(x-9)-\frac{1}{216}(x-9)^2+\frac{1}{3888}(x-9)^3-\frac{5}{279936}(x-9)^4+\cdots.
Eu mostrei explicitamente até a quarta potência; se precisar de uma aproximação, basta usar os primeiros termos.

Passo 7

Raio de convergência e observações práticas:
  • A série binomial converge (pela fórmula) para |u|<1, isto é, para
\left|\frac{x-9}{9}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-9|<9.
Portanto o raio de convergência é R=9 e a série converge para x no intervalo aberto (0,18). (Nos pontos extremos x=0 e x=18 há convergência também neste caso particular de \alpha=\tfrac{1}{2}, mas na prova normalmente basta declarar R=9.)
  • Como usar na prova: para aproximar \sqrt{x} perto de 9, escolha o número de termos necessário para a precisão desejada. Por exemplo, para x=10 (ou seja x-9=1) a aproximação com os dois primeiros termos dá
\sqrt{10}\approx 3+\tfrac{1}{6}=3{,}1666\ldots,
o valor exato é 3{,}162277\ldots, ou seja já ficou bem próximo com um único termo linear.

Resposta

\sqrt{x}=3\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x-9}{9}\right)^n
\text{ou equivalently: }\sqrt{x}=3+\frac{1}{6}(x-9)-\frac{1}{216}(x-9)^2+\frac{1}{3888}(x-9)^3-\frac{5}{279936}(x-9)^4+\cdots