Mas para f(x)=\sqrt{x} é muito mais prático fazer a troca x=9+h e usar a série binomial para (1+u)^{\alpha}. Isso evita calcular muitas derivadas complicadas e nos dá rapidamente a forma geral dos coeficientes. Vou usar essa via porque é a mais eficiente na prova e é totalmente válida.
Passo 3
Fazer a mudança de variável centrando em p=9. Seja h=x-9. Então:
\sqrt{x}=\sqrt{9+h}=3\sqrt{1+\frac{h}{9}}.
Aqui peguei que p=9 do enunciado e defini h=x-9 para escrever a função como 3(1+u)^{1/2} com u=\dfrac{h}{9}=\dfrac{x-9}{9}.
Passo 4
Apresentar a série binomial (a “fórmula” que vamos usar) e explicar os símbolos:
Para |u|<1 e qualquer \alpha\in\mathbb{R},
Portanto o raio de convergência é R=9 e a série converge para x no intervalo aberto (0,18). (Nos pontos extremos x=0 e x=18 há convergência também neste caso particular de \alpha=\tfrac{1}{2}, mas na prova normalmente basta declarar R=9.)
Como usar na prova: para aproximar \sqrt{x} perto de 9, escolha o número de termos necessário para a precisão desejada. Por exemplo, para x=10 (ou seja x-9=1) a aproximação com os dois primeiros termos dá
\sqrt{10}\approx 3+\tfrac{1}{6}=3{,}1666\ldots,
o valor exato é 3{,}162277\ldots, ou seja já ficou bem próximo com um único termo linear.