Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{\log (1+z)}{z^{2}}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{\log(1+z)}{z^{2}}
e pede o tipo de singularidade em z_{0}=0 (polo de ordem m ou singularidade essencial) e o resíduo em z=0. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor (ou Laurent) de \log(1+z) em torno de 0.

Passo 2

A expansão em série de \log(1+z) para \lvert z\rvert<1 é
\log(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^{n} = z \;-\;\frac{z^{2}}{2}\;+\;\frac{z^{3}}{3}\;-\cdots.

Passo 3

Dividindo termo a termo essa série por z^{2}, obtemos a série de Laurent de f(z) em torno de 0:
f(z)=\frac{\log(1+z)}{z^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,z^{\,n-2} = z^{-1}\;-\;\tfrac12\;+\;\tfrac{z}{3}\;-\;\tfrac{z^{2}}{4}\;+\cdots.

Passo 4

Na parte principal da série de Laurent (expoentes negativos) aparece apenas o termo z^{-1} com coeficiente 1. Isso indica que em z=0 há um polo de ordem 1 (polo simples). O resíduo é o coeficiente de z^{-1}, ou seja, 1.

Resposta

A singularidade em z=0 é um polo simples (polo de ordem 1) e
\Res\bigl(f,0\bigr)=1.

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