Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{z^{4}}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{z^{4}}
e pede, em z_{0}=0, o tipo de singularidade (polo de ordem m ou singularidade essencial) e o resíduo. Para resolver, vamos usar a série de Taylor de \operatorname{sinh} z e obter a série de Laurent de f em z=0.

Passo 2

Sabemos que
\operatorname{sinh} z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}
ou seja,
\operatorname{sinh} z = z + \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} + \cdots.
Dividindo essa expansão por z^{4}, obtemos a série de Laurent:
\frac{\operatorname{sinh} z}{z^{4}} = \frac{z + \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} + \cdots}{z^{4}} = z^{-3} + \frac{1}{6}\,z^{-1} + \frac{1}{120}\,z + \cdots.

Passo 3

Na parte principal da série aparecem apenas potências finitas negativas até z^{-3}, sem infinitos termos negativos. Isso caracteriza um polo de ordem 3 em z=0.

Passo 4

O resíduo é o coeficiente de z^{-1} na série de Laurent, que vale \tfrac{1}{6}.

Resposta

A singularidade em z=0 é um polo de ordem 3 e
\operatorname{Res}_{z=0}f(z)=\frac{1}{6}.

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