Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede, em
, o tipo de singularidade (polo de ordem
ou singularidade essencial) e o resíduo. Para resolver, vamos usar a série de Taylor de
e obter a série de Laurent de
em
.
Passo 2
Sabemos que
ou seja,
Dividindo essa expansão por , obtemos a série de Laurent:
Dividindo essa expansão por
Passo 3
Na parte principal da série aparecem apenas potências finitas negativas até
, sem infinitos termos negativos. Isso caracteriza um polo de ordem 3 em
.
Passo 4
O resíduo é o coeficiente de
na série de Laurent, que vale
.
Resposta
A singularidade em
é um polo de ordem 3 e