Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=z \operatorname{sen}\left(\frac{1}{z}\right), z_{0}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=z\sin\!\bigl(\tfrac1z\bigr)
e pede (em z_0=0)
  1. o tipo de singularidade (polo de ordem m ou singularidade essencial) e
  2. o resíduo \Res(f,0).
    Para isso, vamos obter a expansão em série de Laurent em torno de z=0 e usar a definição de singularidade e de resíduo (coeficiente de z^{-1}).

Passo 2

Começamos expandindo \sin(w) em série de Taylor em w=0, depois substituímos w=1/z. Sabemos que
\sin(w)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Tomando w=1/z, obtemos a série de Laurent de \sin(1/z):
\sin\!\bigl(\tfrac1z\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{(2k+1)!}\,z^{-(2k+1)}.

Passo 3

Multiplicando por z, a expansão de f(z) fica
f(z)=z\;\sin\!\bigl(\tfrac1z\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{(2k+1)!}\,z^{-2k}.
Observe que aparecem infinitos termos com potências negativas ( z^0,\,z^{-2},\,z^{-4},\dots), ou seja, a parte principal da série de Laurent é infinita. Isso caracteriza uma singularidade essencial em z=0.

Passo 4

O resíduo de f em z=0 é o coeficiente do termo z^{-1} na expansão de Laurent. Na soma
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{(2k+1)!}\,z^{-2k}
não há nenhum termo em z^{-1}. Logo,
\Res\bigl(f,0\bigr)=0.

Resposta

Singularidade essencial; \Res(f,0)=0.

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