Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (em
)
- o tipo de singularidade (polo de ordem
ou singularidade essencial) e - o resíduo
.
Para isso, vamos obter a expansão em série de Laurent em torno dee usar a definição de singularidade e de resíduo (coeficiente de ).
Passo 2
Começamos expandindo
em série de Taylor em
, depois substituímos
. Sabemos que
Tomando
, obtemos a série de Laurent de
:
Passo 3
Multiplicando por
, a expansão de
fica
Observe que aparecem infinitos termos com potências negativas (
), ou seja, a parte principal da série de Laurent é infinita. Isso caracteriza uma singularidade essencial em
.
Passo 4
O resíduo de
em
é o coeficiente do termo
na expansão de Laurent. Na soma
não há nenhum termo em
. Logo,
Resposta
Singularidade essencial;
.