Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado pede para a função
em
(a) classificar a singularidade em (polo de ordem
ou singularidade essencial) e
(b) calcular o resíduo de em
.
Para isso vamos usar a expansão em série de Taylor de e identificar a parte principal da expansão de Laurent de
.
(a) classificar a singularidade em
(b) calcular o resíduo de
Para isso vamos usar a expansão em série de Taylor de
Passo 2
Começamos escrevendo a série de Taylor de
em torno de
:
Dividindo por
, obtemos a série de Laurent de
:
Nesta expansão há exatamente um termo com potência negativa (
), logo a singularidade em
é um polo simples (polo de ordem
).
Passo 3
O resíduo de
em
é o coeficiente do termo
na série de Laurent. Da expansão acima vemos que esse coeficiente é
Resposta
A singularidade em
é um polo de ordem
(polo simples) e o resíduo é
.