Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=\frac{\cos z}{z}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{\cos z}{z}
em z_{0}=0
(a) classificar a singularidade em z=0 (polo de ordem m ou singularidade essencial) e
(b) calcular o resíduo de f em z=0.
Para isso vamos usar a expansão em série de Taylor de \cos z e identificar a parte principal da expansão de Laurent de f.

Passo 2

Começamos escrevendo a série de Taylor de \cos z em torno de z=0:
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,z^{2n} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots.
Dividindo por z, obtemos a série de Laurent de f(z):
\frac{\cos z}{z} = \frac{1}{z} - \frac{z}{2!} + \frac{z^3}{4!} - \cdots.
Nesta expansão há exatamente um termo com potência negativa ( \tfrac{1}{z}), logo a singularidade em z=0 é um polo simples (polo de ordem m=1).

Passo 3

O resíduo de f em z=0 é o coeficiente do termo \tfrac{1}{z} na série de Laurent. Da expansão acima vemos que esse coeficiente é
\boxed{1}.

Resposta

A singularidade em z=0 é um polo de ordem 1 (polo simples) e o resíduo é 1.

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