Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em
(polo de ordem
ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de
em
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em
, o tipo de singularidade (polo de ordem
ou singularidade essencial) e o resíduo. Para isso, vamos usar a expansão em série de Laurent de
em torno de
.
Passo 2
Observamos que
possui termos de todas as potências negativas de
na expansão de Laurent (i. e.,
para todo
). Isso caracteriza uma singularidade essencial em
, pois não há um maior
tal que todos os coeficientes de
com
sejam nulos.
Passo 3
Construímos a série de Laurent de
. Sabemos que
Aqui fazemos
, obtendo
Passo 4
O resíduo de
em
é o coeficiente do termo
na série de Laurent. No somatório
o termo com
corresponde a
, cujo coeficiente é
Resposta
Singularidade essencial e
.