Para cada função a seguir, determine o tipo de singularidade que a mesma apresenta em z_{0} (polo de ordem m ou singularidade essencial) e calcule o resíduo de f em z=z_{0} :
f(z)=e^{1 / z}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=e^{1/z}
e pede, em z_{0}=0, o tipo de singularidade (polo de ordem m ou singularidade essencial) e o resíduo. Para isso, vamos usar a expansão em série de Laurent de e^{1/z} em torno de z=0.

Passo 2

Observamos que
e^{1/z}
possui termos de todas as potências negativas de z na expansão de Laurent (i. e., z^{-n} para todo n\ge0). Isso caracteriza uma singularidade essencial em z=0, pois não há um maior m tal que todos os coeficientes de z^{-n} com n>m sejam nulos.

Passo 3

Construímos a série de Laurent de e^{1/z}. Sabemos que
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}.
Aqui fazemos w=1/z, obtendo
e^{1/z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,\biggl(\frac{1}{z}\biggr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-n}.

Passo 4

O resíduo de f em z=0 é o coeficiente do termo z^{-1} na série de Laurent. No somatório
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-n},
o termo com z^{-1} corresponde a n=1, cujo coeficiente é
\frac{1}{1!}=1.

Resposta

Singularidade essencial e \operatorname{Res}(f,0)=1.

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