Para cada função vetorial dada determine a derivada no ponto dado.
F(t)=\left(\operatorname{sinh} t, \operatorname{cosh} t, t^{2}\right), t=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial F(t) = (\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;t^2) e pede a derivada em t=0. O conteúdo é derivação de função vetorial, que fazemos derivando cada componente.

Passo 2

Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\operatorname{sinh} t = \operatorname{cosh} t,\qquad \frac{d}{dt}\operatorname{cosh} t = \operatorname{sinh} t,\qquad \frac{d}{dt}(t^2) = 2t.
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F'(t) = (\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;2t).

Passo 3

Para t=0, substituímos na expressão de F'(t):
F'(0) = (\operatorname{cosh} 0,\;\operatorname{sinh} 0,\;2\cdot0) = (1,\;0,\;0).

Resposta

F'(0) = (1,0,0)

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