Para cada uma das funções calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, a derivada de
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Como aparece
, a função só pode ser tratada para , mas em o denominador vale (pois ) e a função não está definida. Além disso, a derivada de em é singular. Portanto consideraremos , onde tudo é bem definido e diferenciável. - Pergunta a responder: calcular
para .
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra de forma clara: se temos duas funções
e
com
, a derivada de
é dada por
O que isso quer dizer na prática: você deriva o numerador (
), multiplica pelo denominador (
), subtrai o numerador original (
) vezes a derivada do denominador (
), e divide pelo quadrado do denominador. É uma aplicação da regra do produto combinada com a derivada de
. É uma fórmula que você deve memorizar e usar passo a passo.
Passo 3
Identificamos
e
:
Agora calculamos
e
com calma:
- Derivadas trigonométricas básicas:
e . Portanto
- Para
usamos a regra da soma e a regra da potência para . A regra da potência diz que . Aplicando com ,
Assim
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com estes
:
Esse já é um resultado correto e direto. Mas dá para simplificar um pouco para evitar frações dentro de frações, deixando a expressão mais prática para a prova.
Passo 5
Para simplificar, escrevemos
. Substituindo na expressão do passo anterior e colocando tudo sobre um único denominador interno
, obtemos
Aqui eu multipliquei numerador e denominador por
apenas para limpar a fração interna; isso é legítimo porque
para
. Essa forma evita termos do tipo
espalhados e é mais prática para leitura/manipulação.
Passo 6
Comentário final e interpretação: a expressão do passo anterior é válida para
. Se quiser, dá para expandir o numerador em termos de
e
, mas isso geralmente deixa a expressão mais longa sem ganho prático. A forma com fator
em evidência no denominador é compacta e adequada para a prova.