Para cada uma das funções calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é o produto de duas expressões:
e . - Precisamos obter a derivada de
em termos de . - Observação sobre domínio (importante para saber onde a derivada existe):
não está definida quando (ou seja, ) e não está definida quando (ou seja, ), com . Portanto, a expressão só faz sentido onde ambos estão definidos.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e intuitiva): temos um produto de duas funções; o método natural é usar a regra do produto. Além disso precisaremos das derivadas de
e
. Vou explicar a regra do produto e também mostrar por que
e
, porque é importante saber de onde vêm essas fórmulas para não decorar no escuro.
Passo 3
Regra do quociente (vamos usá-la para derivar
e
). A regra do quociente diz que, se
com
, então
Aqui
e
são funções de
;
e
são suas derivadas.
Passo 4
Derivando
com a regra do quociente. Como
, aplicamos a regra do quociente com
e
. Sabemos que
e
. Assim,
Explicação: usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 5
Derivando
com a regra do quociente. Como
, aplicamos a regra do quociente com
e
. Derivadas conhecidas:
e
. Então
Novamente usei
.
Passo 6
Regra do produto e aplicação às partes da função. A regra do produto diz que, se
, então
Aqui tomo
Calculando as derivadas das partes:
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Vou expandir para ver se simplifica:
Passo 8
Simplificação inteligente: escrever os termos em
e
para ver cancelamentos. Use as identidades
,
,
,
.
Calcule os termos mistos:
Calcule os termos mistos:
Esses dois termos são iguais com sinais opostos, portanto se cancelam. Restam então apenas os termos:
Passo 9
Interpretação final e domínio: a forma simplificada
é válida exatamente onde
e
(e, portanto,
e
) são definidos, ou seja, para todos
tais que
e
(ou seja,
e
,
). Boa! Fizemos a conta direitinho e até teve um cancelamento simpático — ótimo trabalho em seguir até aqui, respira fundo que tá indo bem!