Para cada uma das funções calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
para a função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é dada por uma razão entre duas expressões trigonométricas.
- Devemos encontrar a derivada
para os onde a função está definida (note que a função não está definida quando ). - Não vamos ainda calcular nada; só registrei o que é pedido e as partes da função.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (explicando bem): regra do quociente. Se tivermos duas funções
e
com
, a derivada de
é dada por
Aqui:
-
é a derivada de , -
é a derivada de , - o numerador combina
e conforme a fórmula, e o denominador é .
Também precisamos das derivadas básicas das funções trigonométricas:
Essas duas fórmulas são fundamentais e vamos usá-las em seguida.
Passo 3
Identificamos as partes
e
da fração:
Agora calculamos
e
passo a passo:
- A derivada da constante
é . - A derivada de
é .
Logo
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Logo
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Vamos desenvolver o numerador com calma, termo a termo:
Subtraindo:
Passo 5
Simplificamos usando a identidade trigonométrica básica
No numerador temos
. Então
Fatorando um sinal negativo para ficar mais compacto:
Passo 6
Substituindo o numerador simplificado de volta na expressão da derivada, obtemos
Essa é uma forma bem simples e prática. Se quisermos, podemos escrever em outra forma útil para cálculo:
sendo ambas equivalentes — a segunda pode ser útil para analisar termos separadamente.
Passo 7
Domínio e observação final para a prova:
- A derivada (e a própria função) não existem quando
, ou seja quando . - Os valores de
onde isto ocorre são
- Fora desses pontos, a expressão encontrada para
é válida.