Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
f(x)=\frac{3+\cos x}{1+\sin x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular f'(x) para a função
f(x)=\frac{3+\cos x}{1+\sin x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é dada por uma razão entre duas expressões trigonométricas.
  • Devemos encontrar a derivada f'(x) para os x onde a função está definida (note que a função não está definida quando 1+\sin x=0).
  • Não vamos ainda calcular nada; só registrei o que é pedido e as partes da função.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (explicando bem): regra do quociente. Se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq 0, a derivada de \dfrac{u}{v} é dada por
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui:
  • u'(x) é a derivada de u(x),
  • v'(x) é a derivada de v(x),
  • o numerador combina u' e v' conforme a fórmula, e o denominador é v^2.
    Também precisamos das derivadas básicas das funções trigonométricas:
(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.
Essas duas fórmulas são fundamentais e vamos usá-las em seguida.

Passo 3

Identificamos as partes u e v da fração:
u(x)=3+\cos x,\qquad v(x)=1+\sin x.
Agora calculamos u'(x) e v'(x) passo a passo:
  • A derivada da constante 3 é 0.
  • A derivada de \cos x é -\sin x.
    Logo
u'(x)=0+(-\sin x)=-\sin x.
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de \sin x é \cos x.
    Logo
v'(x)=0+\cos x=\cos x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{(-\sin x)(1+\sin x)-(3+\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}.
Vamos desenvolver o numerador com calma, termo a termo:
(-\sin x)(1+\sin x)=-\sin x-\sin^2 x,
(3+\cos x)(\cos x)=3\cos x+\cos^2 x.
Subtraindo:
\text{numerador}=(-\sin x-\sin^2 x)-(3\cos x+\cos^2 x)=-\sin x-\sin^2 x-3\cos x-\cos^2 x.

Passo 5

Simplificamos usando a identidade trigonométrica básica
\sin^2 x+\cos^2 x=1.
No numerador temos -\sin^2 x-\cos^2 x=-(\sin^2 x+\cos^2 x)=-1. Então
-\sin x-\sin^2 x-3\cos x-\cos^2 x = -\sin x-3\cos x-1.
Fatorando um sinal negativo para ficar mais compacto:
-\sin x-3\cos x-1=-(1+\sin x+3\cos x).

Passo 6

Substituindo o numerador simplificado de volta na expressão da derivada, obtemos
f'(x)=\frac{-(1+\sin x+3\cos x)}{(1+\sin x)^2}.
Essa é uma forma bem simples e prática. Se quisermos, podemos escrever em outra forma útil para cálculo:
f'(x)=-\frac{1+\sin x+3\cos x}{(1+\sin x)^2} \quad\text{ou}\quad f'(x)=-\frac{1}{1+\sin x}-\frac{3\cos x}{(1+\sin x)^2},
sendo ambas equivalentes — a segunda pode ser útil para analisar termos separadamente.

Passo 7

Domínio e observação final para a prova:
  • A derivada (e a própria função) não existem quando 1+\sin x=0, ou seja quando \sin x=-1.
  • Os valores de x onde isto ocorre são
x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Fora desses pontos, a expressão encontrada para f'(x) é válida.

Resposta

f'(x)=-\frac{1+\sin x+3\cos x}{(1+\sin x)^2}

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