Para cada uma das funções calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas: a expressão explícita de
. A tarefa é obter
em termos de
. Não há mais dados (como valores numéricos ou pontos específicos).
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): reconhecemos que
é uma função composta do tipo
com
e
. Vou usar a regra da cadeia. A regra da cadeia para potências diz que, se
, então
Aqui
é a função interna (aquela dentro do expoente) e
é a constante expoente.
Passo 3
Aplicando diretamente a regra da cadeia ao nosso caso (
e
), obtemos
onde
é a derivada da função interna
. Agora o problema reduz-se a calcular
.
Passo 4
Calcule
. Escrevemos
Como a derivada de
é
, resta derivar a parte
, que é um produto de
por
. Usamos a regra do produto: se
, então
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto com
e
, temos
Agora precisamos calcular
.
Passo 6
Calcule
onde
. Novamente é um produto:
com
e
. Pela regra do produto,
Calculamos
e
separadamente.
Passo 7
Derivadas básicas usadas:
- A derivada de
é . Pela regra da cadeia, a derivada de é
- A derivada de
é . Pela regra da cadeia, a derivada de é
Passo 8
Substituindo
e
em
, obtemos
Simplificando os fatores:
Passo 9
Fatorando
para ficar mais elegante e reutilizável:
Passo 10
Voltemos a
. Substituindo
fatorado:
Podemos também fatorar um termo comum
:
Passo 11
Substituímos
na fórmula da derivada obtida no Passo 3. Assim
Essa expressão é uma forma final simplificada, com fatores comuns evidenciados para facilitar uso em prova (é prática comum fatorar para evitar erros de conta).