Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
\left.f(x)=\left(1+x \sin ^{2} x \cos ^{3} x\right)\right)^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\bigl(1+x\sin^{2}x\cos^{3}x\bigr)^{-3}.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x). A tarefa é obter f'(x) em termos de x. Não há mais dados (como valores numéricos ou pontos específicos).

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): reconhecemos que f(x) é uma função composta do tipo (u(x))^{n} com n=-3 e u(x)=1+x\sin^{2}x\cos^{3}x. Vou usar a regra da cadeia. A regra da cadeia para potências diz que, se \;f(x)=(u(x))^{n}\;, então
f'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x).
Aqui u(x) é a função interna (aquela dentro do expoente) e n é a constante expoente.

Passo 3

Aplicando diretamente a regra da cadeia ao nosso caso ( n=-3 e u(x)=1+x\sin^{2}x\cos^{3}x), obtemos
f'(x)=-3\bigl(1+x\sin^{2}x\cos^{3}x\bigr)^{-4}\,u'(x),
onde u'(x) é a derivada da função interna u(x). Agora o problema reduz-se a calcular u'(x).

Passo 4

Calcule u'(x). Escrevemos
u(x)=1+x\sin^{2}x\cos^{3}x.
Como a derivada de 1 é 0, resta derivar a parte x\sin^{2}x\cos^{3}x, que é um produto de x por h(x)=\sin^{2}x\cos^{3}x. Usamos a regra do produto: se p(x)=a(x)b(x), então p'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).

Passo 5

Aplicando a regra do produto com a(x)=x e b(x)=h(x)=\sin^{2}x\cos^{3}x, temos
u'(x)=h(x)+x\,h'(x)=\sin^{2}x\cos^{3}x + x\,h'(x).
Agora precisamos calcular h'(x).

Passo 6

Calcule h'(x) onde h(x)=\sin^{2}x\cos^{3}x. Novamente é um produto: h(x)=v(x)w(x) com v(x)=\sin^{2}x e w(x)=\cos^{3}x. Pela regra do produto,
h'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x).
Calculamos v'(x) e w'(x) separadamente.

Passo 7

Derivadas básicas usadas:
  • A derivada de \sin x é \cos x. Pela regra da cadeia, a derivada de \sin^{2}x=(\sin x)^{2} é
v'(x)=(\sin^{2}x)'=2\sin x\cdot(\sin x)'=2\sin x\cos x.
  • A derivada de \cos x é -\sin x. Pela regra da cadeia, a derivada de \cos^{3}x=(\cos x)^{3} é
w'(x)=(\cos^{3}x)'=3\cos^{2}x\cdot(\cos x)'=3\cos^{2}x\cdot(-\sin x)=-3\sin x\cos^{2}x.

Passo 8

Substituindo v'(x) e w'(x) em h'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x), obtemos
h'(x)=2\sin x\cos x\cdot\cos^{3}x + \sin^{2}x\cdot\bigl(-3\sin x\cos^{2}x\bigr).
Simplificando os fatores:
h'(x)=2\sin x\cos^{4}x - 3\sin^{3}x\cos^{2}x.

Passo 9

Fatorando h'(x) para ficar mais elegante e reutilizável:
h'(x)=\sin x\cos^{2}x\bigl(2\cos^{2}x-3\sin^{2}x\bigr).

Passo 10

Voltemos a u'(x)=\sin^{2}x\cos^{3}x + x\,h'(x). Substituindo h'(x) fatorado:
u'(x)=\sin^{2}x\cos^{3}x + x\sin x\cos^{2}x\bigl(2\cos^{2}x-3\sin^{2}x\bigr).
Podemos também fatorar um termo comum \sin x\cos^{2}x:
u'(x)=\sin x\cos^{2}x\Bigl(\sin x\cos x + x\bigl(2\cos^{2}x-3\sin^{2}x\bigr)\Bigr).

Passo 11

Substituímos u'(x) na fórmula da derivada obtida no Passo 3. Assim
f'(x)=-3\bigl(1+x\sin^{2}x\cos^{3}x\bigr)^{-4}\cdot \sin x\cos^{2}x\Bigl(\sin x\cos x + x\bigl(2\cos^{2}x-3\sin^{2}x\bigr)\Bigr).
Essa expressão é uma forma final simplificada, com fatores comuns evidenciados para facilitar uso em prova (é prática comum fatorar para evitar erros de conta).

Resposta

f'(x)=-3\bigl(1+x\sin^{2}x\cos^{3}x\bigr)^{-4}\,\sin x\cos^{2}x\Bigl(\sin x\cos x + x\bigl(2\cos^{2}x-3\sin^{2}x\bigr)\Bigr).

Exercícios relacionados