Para cada uma das funções calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
da função
Informações dadas e o que é preciso encontrar:
- A função está escrita como uma potência de índice
aplicada a uma razão entre duas funções trigonométricas e polinomiais. - Precisamos obter expressamente a derivada
em termos de . - Não há valores numéricos a avaliar; queremos a fórmula geral de
.
Passo 2
Vamos decompor a função para facilitar a derivação. Definimos a função interior (aquela que é elevada ao cubo) como
onde
e
A função exterior é
. Usaremos a regra da cadeia: se
então
Passo 3
Derivada da função exterior
. Aplicando a regra do poder (derivada de
é
):
Portanto, pela regra da cadeia:
Agora só falta calcular
, a derivada da razão
.
Passo 4
Para derivar
vamos usar a regra do quociente: se
então
Então precisamos de
e
.
Passo 5
Calcular
com regra da soma e produto. Lembre que a derivada de
é
e de
é
. Para
usamos a regra do produto:
Agora derivando termo a termo:
Os
positivos e negativos se cancelam, ficando
Passo 6
Calcular
. Temos
. A derivada de
é
. Para
usamos regra da cadeia: se
então
. E
. Assim
Multiplicando pelo coeficiente
de
,
(Notação:
, e
é a derivada de
.)
Passo 7
Aplicando a regra do quociente com os resultados:
Substituindo
:
Passo 8
Agora voltamos à regra da cadeia. Lembrando
e
, então substituindo
e
obtemos
Multiplicando as potências de
:
. Portanto podemos escrever
Passo 9
Substituindo finalmente
,
,
e
explícitos, obtemos a forma final:
Esta expressão é equivalente a manter a forma factorizada das etapas anteriores; aqui está tudo em termos de
.