Para cada uma das funções calcule f^{\prime}(x)
f(x)=\sin x(3+\cos x)

Passo 1

Dado: f(x)=\sin x\,(3+\cos x).
Pedido: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos escolher uma estratégia: a função é produto de duas partes dependentes de x. Quando temos uma função na forma produto u(x)\,v(x), usamos a regra do produto. A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui identificamos
u(x)=\sin x,\qquad v(x)=3+\cos x.

Passo 3

Precisamos das derivadas de u e de v.
A derivada de \sin x é \cos x. A derivada de uma constante é zero, e a derivada de \cos x é -\sin x. Portanto,
u'(x)=\cos x,\qquad v'(x)=0+(-\sin x)=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\cos x\,(3+\cos x)+\sin x\,(-\sin x).

Passo 5

Agora desenvolvemos e simplificamos termo a termo. Primeiro termo:
\cos x\,(3+\cos x)=3\cos x+\cos^2 x.
Segundo termo:
\sin x\,(-\sin x)=-\sin^2 x.
Somando:
f'(x)=3\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x.

Passo 6

Podemos usar a identidade trigonométrica \cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x) para simplificar ainda mais:
f'(x)=3\cos x+\cos(2x).
Ambas as formas são corretas e equivalentes; a forma com \cos(2x) é mais compacta.

Resposta

f'(x)=3\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x
\text{(equivalentemente)}\quad f'(x)=3\cos x+\cos(2x)

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