Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x \rightarrow 0.
f(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(2 x^{2}\right)}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(2x^{2}\bigr)}{3x}.
O conteúdo envolvido é limite de função trigonométrica usando a aproximação \sin t\approx t quando t\to0.

Passo 2

Escrevemos
\frac{\sin\bigl(2x^{2}\bigr)}{3x} =\frac{2x^{2}}{3x}\cdot\frac{\sin\bigl(2x^{2}\bigr)}{2x^{2}} =\frac{2x}{3}\cdot\frac{\sin\bigl(2x^{2}\bigr)}{2x^{2}}.
Aqui usamos uma fatoração para isolar o quociente \sin(2x^{2})/(2x^{2}).

Passo 3

Como \lim_{u\to0}\sin u/u=1, ao definirmos u=2x^{2} temos \lim_{x\to0}\sin(2x^{2})/(2x^{2})=1. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(2x^{2}\bigr)}{3x} =\lim_{x\to0}\frac{2x}{3}\cdot1 =\frac{2}{3}\lim_{x\to0}x =0.

Resposta

0

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