Para cada uma das funções g dadas abaixo, encontre f tal que f(g(x))=x, para todo x \in D_{g}.
g(x)=\frac{x+2}{x+1} e D_{g}=\{x \in \mathbb{R}: x \neq-1\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar f tal que
f\bigl(g(x)\bigr)=x \quad\text{para todo }x\in D_{g},
onde
g(x)=\frac{x+2}{x+1}, \quad D_{g}=\{x\in\mathbb{R}:x\neq -1\}.
O conteúdo envolvido é o de função inversa: queremos achar f=g^{-1}.

Passo 2

Introduzimos a variável intermediária y=g(x), ou seja,
y=\frac{x+2}{x+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1) e isolando x, obtemos
y(x+1)=x+2 \quad\Longrightarrow\quad yx+y=x+2 \quad\Longrightarrow\quad x(y-1)=2-y \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2-y}{y-1}.

Passo 4

Como y=g(x), a inversa f deve ser
f(y)=\frac{2-y}{y-1},
com domínio \{y\in\mathbb{R}:y\neq1\}, pois y=1 não pertence à imagem de g.

Resposta

f(x)=\frac{2-x}{x-1}, \quad\text{com domínio }x\neq1.í

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