Para cada uma das funções g dadas abaixo, encontre f tal que f(g(x))=x, para todo x \in D_{g}.
g(x)=x^{2}-2 x e D_{g}=\{x \in \mathbb{R}: x \geq 1\}

Passo 1

O enunciado pede: dada
g(x)=x^{2}-2x,\quad D_{g}=\{x\in\mathbb{R}:x\ge1\},
encontre f tal que
f\bigl(g(x)\bigr)=x\quad\text{para todo }x\in D_{g}.
Isso é, estamos buscando a inversa de g restrita ao domínio x\ge1.

Passo 2

Mostramos que g é injetora em D_{g} verificando que é estritamente crescente:
g'(x)=2x-2.
Para x\ge1 temos g'(x)\ge0 e, de fato, g'(x)>0 para x>1. Logo g é injetora em [1,\infty) e possui inversa.

Passo 3

Para achar g^{-1}, chamemos y=g(x). Então
y = x^{2}-2x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x - y = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 +4y}}{2} =1 \pm \sqrt{1+y}.

Passo 4

Como x\ge1, devemos tomar o sinal “ +” na raiz, pois se tomássemos “ -” teríamos x\le1. Portanto
g^{-1}(y)=1+\sqrt{1+y}.
Renomeando a variável de entrada por x, a função procurada é
f(x)=1+\sqrt{1+x},\quad D_{f}=[-1,\infty).

Resposta

f(x)=1+\sqrt{1+x}.

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