Para cada uma das funções
dadas pelas expressões abaixo, desenhe várias curvas de nível (em um mesmo sistema de eixos).
(vi)
;
(vi)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar várias curvas de nível, no mesmo sistema de eixos, da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O que se quer: várias curvas de nível (ou seja, o conjunto de pontos
com constante).
Passo 2
Definição e equação das curvas de nível. Para um nível qualquer
a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem
Substituindo
,
Isolando
obtemos a forma explícita da curva de nível:
Passo 3
Interpretação geométrica simples. A equação
diz que cada curva de nível é exatamente o gráfico da função cúbica
deslocado verticalmente por
. Ou seja, variar
apenas sobe ou desce a curva sem alterar sua forma.
Passo 4
Propriedades da cúbica básica
que ajudam a desenhar:
- É monotonicamente crescente: quando
cresce, cresce. - É função ímpar:
é simétrica em relação à origem (rotação de ). - Derivada:
. Isso mostra que a tangente é horizontal em (pois ). - Segunda derivada:
. A inflexão ocorre em porque aí a curvatura muda de concavidade.
Esses fatos servem para esboçar corretamente a forma: suave, com “cotovelo” plano em, sobe rápido para e desce rápido para .
Passo 5
Escolha de níveis práticos para desenhar e cálculo de pontos de referência. Uma boa escolha é tomar
em passos inteiros, por exemplo
. Para cada nível, calcule valores em
para ter pontos a plotar.
Para
(a cúbica padrão):
Para
:
Para
:
Para
e
os valores são obtidos somando
ou subtraindo
dos valores de
.
Passo 6
Instruções práticas de desenho no mesmo sistema de eixos:
- Trace eixos
e e marque uma grade razoável (por exemplo e cobrindo os valores calculados). - Para cada
escolhido (p.ex. ), plote os pontos calculados e ligue-os com uma curva suave que tenha a forma cúbica (tangent horizontal em para cada cópia). - Cada curva será igual em forma às outras, apenas deslocada verticalmente por
. - Observe que curvas de níveis distintos não se cruzam (se
então ).
Passo 7
Comentário sobre o gradiente e o espaçamento das curvas (ajuda a entender aparência local). O gradiente é
- O gradiente é perpendicular às curvas de nível e aponta na direção de aumento de
. - A magnitude é
. Isso é mínima em (valor ) e cresce quando aumenta. Consequência prática: para mudar o valor de em uma certa quantidade, perto de é preciso deslocar-se mais (as curvas ficam relativamente mais espaçadas, medido na direção normal), enquanto para grandes a variação de ocorre mais rápido (curvas mais próximas na direção normal). Isso não muda o fato de que verticalmente a distância entre as curvas é exatamente a diferença nos , mas explica por que visualmente a “separação perpendicular” varia ao longo da curva.
Passo 8
Resumo prático para a prova (o que escrever/mostrar):
- Dizer que as curvas de nível são
- Desenhar várias cópias para diferentes
(ex.: ), usando os pontos de referência calculados e a forma cúbica com tangente horizontal em . - Opcional: anotar
para justificar a orientação e espaçamento local das curvas.
Resposta
As curvas de nível são
para
; por exemplo, para
desenhar as curvas
,
,
,
,
.