Para cada uma das funções f(x, y) dadas pelas expressões abaixo, desenhe várias curvas de nível (em um mesmo sistema de eixos).
(vi) y-x^{3};

Passo 1

O enunciado pede para desenhar várias curvas de nível, no mesmo sistema de eixos, da função f(x,y)=y-x^{3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=y-x^{3}.
  • O que se quer: várias curvas de nível (ou seja, o conjunto de pontos (x,y) com f(x,y)= constante).

Passo 2

Definição e equação das curvas de nível. Para um nível qualquer C\in\mathbb{R} a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem
f(x,y)=C.
Substituindo f,
y-x^{3}=C.
Isolando y obtemos a forma explícita da curva de nível:
y = x^{3} + C.

Passo 3

Interpretação geométrica simples. A equação y=x^{3}+C diz que cada curva de nível é exatamente o gráfico da função cúbica x\mapsto x^{3} deslocado verticalmente por C. Ou seja, variar C apenas sobe ou desce a curva sem alterar sua forma.

Passo 4

Propriedades da cúbica básica y=x^{3} que ajudam a desenhar:
  • É monotonicamente crescente: quando x cresce, x^{3} cresce.
  • É função ímpar: x^{3} é simétrica em relação à origem (rotação de 180^\circ).
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. Isso mostra que a tangente é horizontal em x=0 (pois 3\cdot0^{2}=0).
  • Segunda derivada: \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}(x^{3})=6x. A inflexão ocorre em x=0 porque aí a curvatura muda de concavidade.
    Esses fatos servem para esboçar corretamente a forma: suave, com “cotovelo” plano em x=0, sobe rápido para x\to+\infty e desce rápido para x\to-\infty.

Passo 5

Escolha de níveis práticos para desenhar e cálculo de pontos de referência. Uma boa escolha é tomar C em passos inteiros, por exemplo C=-2,-1,0,1,2. Para cada nível, calcule valores em x=-2,-1,0,1,2 para ter pontos a plotar.
Para C=0 (a cúbica padrão):
\begin{aligned} x=-2 &\Rightarrow y=(-2)^{3}=-8,\\\ x=-1 &\Rightarrow y=-1,\\\ x=0 &\Rightarrow y=0,\\\ x=1 &\Rightarrow y=1,\\\ x=2 &\Rightarrow y=8. \end{aligned}
Para C=1:
\begin{aligned} x=-2 &\Rightarrow y=-8+1=-7,\\\ x=-1 &\Rightarrow y=-1+1=0,\\\ x=0 &\Rightarrow y=0+1=1,\\\ x=1 &\Rightarrow y=1+1=2,\\\ x=2 &\Rightarrow y=8+1=9. \end{aligned}
Para C=-1:
\begin{aligned} x=-2 &\Rightarrow y=-8-1=-9,\\\ x=-1 &\Rightarrow y=-1-1=-2,\\\ x=0 &\Rightarrow y=-1,\\\ x=1 &\Rightarrow y=0,\\\ x=2 &\Rightarrow y=7. \end{aligned}
Para C=2 e C=-2 os valores são obtidos somando 2 ou subtraindo 2 dos valores de x^{3}.

Passo 6

Instruções práticas de desenho no mesmo sistema de eixos:
  1. Trace eixos x e y e marque uma grade razoável (por exemplo x=-2,-1,0,1,2 e y cobrindo os valores calculados).
  2. Para cada C escolhido (p.ex. -2,-1,0,1,2), plote os pontos calculados e ligue-os com uma curva suave que tenha a forma cúbica (tangent horizontal em x=0 para cada cópia).
  3. Cada curva será igual em forma às outras, apenas deslocada verticalmente por C.
  4. Observe que curvas de níveis distintos não se cruzam (se x^{3}+C_{1}=x^{3}+C_{2} então C_{1}=C_{2}).

Passo 7

Comentário sobre o gradiente e o espaçamento das curvas (ajuda a entender aparência local). O gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=(-3x^{2},1).
  • O gradiente é perpendicular às curvas de nível e aponta na direção de aumento de f.
  • A magnitude é \|\nabla f\|=\sqrt{9x^{4}+1}. Isso é mínima em x=0 (valor 1) e cresce quando |x| aumenta. Consequência prática: para mudar o valor de f em uma certa quantidade, perto de x=0 é preciso deslocar-se mais (as curvas ficam relativamente mais espaçadas, medido na direção normal), enquanto para |x| grandes a variação de f ocorre mais rápido (curvas mais próximas na direção normal). Isso não muda o fato de que verticalmente a distância entre as curvas é exatamente a diferença nos C, mas explica por que visualmente a “separação perpendicular” varia ao longo da curva.

Passo 8

Resumo prático para a prova (o que escrever/mostrar):
  • Dizer que as curvas de nível são \;y=x^{3}+C,\; C\in\mathbb{R}.
  • Desenhar várias cópias para diferentes C (ex.: C=-2,-1,0,1,2), usando os pontos de referência calculados e a forma cúbica com tangente horizontal em x=0.
  • Opcional: anotar \nabla f=(-3x^{2},1) para justificar a orientação e espaçamento local das curvas.

Resposta

As curvas de nível são y=x^{3}+C para C\in\mathbb{R}; por exemplo, para C=-2,-1,0,1,2 desenhar as curvas y=x^{3}-2, y=x^{3}-1, y=x^{3}, y=x^{3}+1, y=x^{3}+2.