Para cada uma das funções \mathrm{f}: \mathrm{I} \rightarrow \mathbb{R} abaixo, onde \mathrm{I} \subseteq \mathbb{R}, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
f(x) \doteq \operatorname{cosh} (3 \cdot x), \quad para \quad x \in I

Passo 1

O enunciado pede que, para a função f:\,I\to\mathbb{R} dada por
f(x)\doteq\operatorname{cosh}(3\cdot x),
determinemos:
  • os pontos de máximo e de mínimo locais (ou relativos);
  • os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
Informações relevantes dadas:
  • a função é f(x)=\operatorname{cosh}(3x);
  • o domínio natural da função hiperbólica \operatorname{cosh} é todo \mathbb{R}, portanto podemos tomar I=\mathbb{R} (a menos que o enunciado restrinja I, o que aqui não ocorreu).

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades que vamos usar (com explicações simples):
  • A função hiperbólica cosseno é definida por
\operatorname{cosh} u = \frac{e^{u}+e^{-u}}{2},
onde u é qualquer número real. Por isso \operatorname{cosh} u está definida para todo u\in\mathbb{R}.
  • A função \operatorname{sinh} (seno hiperbólico) é
\operatorname{sinh} u = \frac{e^{u}-e^{-u}}{2}.
  • Derivadas básicas: a derivada de \operatorname{cosh} u em relação a u é \operatorname{sinh} u, isto é,
\frac{d}{du}\operatorname{cosh} u = \operatorname{sinh} u.
  • Regra da cadeia (explicação): se g(x)=\operatorname{cosh}(h(x)), então g'(x)=h'(x)\cdot\operatorname{sinh}(h(x)). Ou seja, derivamos o exterior ( \operatorname{cosh}) avaliando em h(x) e multiplicamos pela derivada do interior h'(x).

Passo 3

Calcular a derivada de f usando a regra da cadeia:
f(x)=\operatorname{cosh}(3x)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=3\cdot\operatorname{sinh}(3x).
Explicação passo a passo: aplicamos \frac{d}{du}\operatorname{cosh} u=\operatorname{sinh} u com u=3x, e multiplicamos por \frac{d}{dx}(3x)=3.

Passo 4

Encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida):
  • Como f'(x)=3\operatorname{sinh}(3x) e 3 é diferente de zero, resolvemos \operatorname{sinh}(3x)=0.
  • Sabemos que \operatorname{sinh} t =0 somente em t=0. Portanto \operatorname{sinh}(3x)=0 quando 3x=0, ou seja x=0.
Conclusão: o único ponto crítico é x=0.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x) para achar intervalos de crescimento/decrescimento:
  • Propriedade importante: \operatorname{sinh} t é negativa para t<0, nula em t=0 e positiva para t>0. Logo \operatorname{sinh}(3x) tem o mesmo sinal de x, porque multiplicar por 3>0 não altera o sinal.
  • Assim:
    • Para x<0: temos 3x<0\Rightarrow\operatorname{sinh}(3x)<0\Rightarrow f'(x)=3\operatorname{sinh}(3x)<0. Logo f é decrescente em qualquer intervalo contido em (-\infty,0).
    • Para x>0: temos 3x>0\Rightarrow\operatorname{sinh}(3x)>0\Rightarrow f'(x)>0. Logo f é crescente em qualquer intervalo contido em (0,\infty).
Portanto:
  • f é decrescente em (-\infty,0).
  • f é crescente em (0,\infty).

Passo 6

Classificar o ponto crítico x=0 (teste da segunda derivada e observação global):
  • Calculemos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3\operatorname{sinh}(3x)\bigr)=3\cdot 3\operatorname{cosh}(3x)=9\operatorname{cosh}(3x).
  • Observação: \operatorname{cosh}(3x)\ge 1 para todo x, logo f''(x)=9\operatorname{cosh}(3x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Em particular f''(0)=9\operatorname{cosh}(0)=9>0.
  • Pelo teste da segunda derivada, se f''(x_0)>0 no ponto crítico x_0, então x_0 é um ponto de mínimo local.
Conclusão: x=0 é um ponto de mínimo local. Como f''(x)>0 para todo x, a função é estritamente convexa e o mínimo em x=0 é na verdade mínimo global.

Passo 7

Valor do mínimo e ausência de máximos:
  • Avaliando f em x=0:
f(0)=\operatorname{cosh}(0)=\frac{e^{0}+e^{0}}{2}=1.
  • Como \operatorname{cosh} u\ge 1 para todo u, temos f(x)=\operatorname{cosh}(3x)\ge 1 para todo x. Assim f(0)=1 é o valor mínimo absoluto (global).
  • Sobre máximos: \lim_{x\to\infty}\operatorname{cosh}(3x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}\operatorname{cosh}(3x)=+\infty, portanto não existe máximo finito (nenhum máximo local que seja máximo relativo interior; a função cresce arbitrariamente para |x| grande). Assim não há pontos de máximo local.

Resposta

Ponto de mínimo local (e global): x=0 com f(0)=1.
Não há pontos de máximo local.
f é decrescente em (-\infty,0).
f é crescente em (0,\infty).