Para cada uma das funções
abaixo, onde
, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
para
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
dada por
determinemos:
- os pontos de máximo e de mínimo locais (ou relativos);
- os intervalos onde
é crescente ou decrescente.
Informações relevantes dadas:
- a função é
; - o domínio natural da função hiperbólica
é todo , portanto podemos tomar (a menos que o enunciado restrinja , o que aqui não ocorreu).
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades que vamos usar (com explicações simples):
- A função hiperbólica cosseno é definida por
onde
é qualquer número real. Por isso
está definida para todo
.
- A função
(seno hiperbólico) é
- Derivadas básicas: a derivada de
em relação a é , isto é,
- Regra da cadeia (explicação): se
, então . Ou seja, derivamos o exterior ( ) avaliando em e multiplicamos pela derivada do interior .
Passo 3
Calcular a derivada de
usando a regra da cadeia:
Explicação passo a passo: aplicamos
com
, e multiplicamos por
.
Passo 4
Encontrar pontos críticos (onde
ou
indefinida):
- Como
e é diferente de zero, resolvemos . - Sabemos que
somente em . Portanto quando , ou seja .
Conclusão: o único ponto crítico é
.
Passo 5
Analisar o sinal de
para achar intervalos de crescimento/decrescimento:
- Propriedade importante:
é negativa para , nula em e positiva para . Logo tem o mesmo sinal de , porque multiplicar por não altera o sinal. - Assim:
- Para
: temos . Logo é decrescente em qualquer intervalo contido em . - Para
: temos . Logo é crescente em qualquer intervalo contido em .
- Para
Portanto:
-
é decrescente em . -
é crescente em .
Passo 6
Classificar o ponto crítico
(teste da segunda derivada e observação global):
- Calculemos a segunda derivada:
- Observação:
para todo , logo para todo . Em particular . - Pelo teste da segunda derivada, se
no ponto crítico , então é um ponto de mínimo local.
Conclusão:
é um ponto de mínimo local. Como
para todo
, a função é estritamente convexa e o mínimo em
é na verdade mínimo global.
Passo 7
Valor do mínimo e ausência de máximos:
- Avaliando
em :
- Como
para todo , temos para todo . Assim é o valor mínimo absoluto (global). - Sobre máximos:
e , portanto não existe máximo finito (nenhum máximo local que seja máximo relativo interior; a função cresce arbitrariamente para |x| grande). Assim não há pontos de máximo local.
Resposta
Ponto de mínimo local (e global):
com
.
Não há pontos de máximo local.
é decrescente em
.
é crescente em
.
Não há pontos de máximo local.