Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa, seu domínio, e sua imagem.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é invertível. Em caso afirmativo, devemos achar
, seu domínio e sua imagem.
Passo 2
Para ser invertível,
deve ser injetora. Vamos estudar a monotonicidade calculando a derivada:
Como em todo
temos
e
, segue
. Logo,
é estritamente decrescente em
e, portanto, injetora.
Passo 3
Para determinar a imagem de
em
, analisamos os limites nas extremidades:
Como
é contínua e decrescente em
, seus valores percorrem todo o intervalo
. Portanto,
Passo 4
Para achar a inversa, escrevemos
e isolamos
:
Daí
Como o domínio original exige
, escolhemos o sinal negativo. Assim,
Resposta
A função
é invertível em
.
O domínio de é
e sua imagem é
.
A inversa é
O domínio de
A inversa é
com imagem igual a
.