Para cada uma das funções a seguir verifique se ela é invertível. Em caso afirmativo, determine sua inversa, seu domínio, e sua imagem.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, x<0

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1},\quad x<0,
e pede para verificar se f é invertível. Em caso afirmativo, devemos achar f^{-1}, seu domínio e sua imagem.

Passo 2

Para ser invertível, f deve ser injetora. Vamos estudar a monotonicidade calculando a derivada:
f'(x) =\frac{2x\,(x^{2}+1)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x^{3}+2x-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Como em todo x<0 temos 2x<0 e (x^{2}+1)^{2}>0, segue f'(x)<0. Logo, f é estritamente decrescente em (-\infty,0) e, portanto, injetora.

Passo 3

Para determinar a imagem de f em (-\infty,0), analisamos os limites nas extremidades:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}\frac{x^2}{x^2+1} =0,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x^2+1} =1.
Como f é contínua e decrescente em (-\infty,0), seus valores percorrem todo o intervalo (0,1). Portanto,
\text{Domínio de }f:(-\infty,0), \quad \text{Imagem de }f:(0,1).í

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e isolamos x:
y=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \;\Longrightarrow\; y\,(x^{2}+1)=x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}(1-y)=y \;\Longrightarrow\; x^{2}=\frac{y}{1-y}.
Daí
x=\pm\sqrt{\frac{y}{1-y}}.
Como o domínio original exige x<0, escolhemos o sinal negativo. Assim,
f^{-1}(y)=-\sqrt{\frac{y}{1-y}}.

Resposta

A função f é invertível em (-\infty,0).
O domínio de f é (-\infty,0) e sua imagem é (0,1).
A inversa é
f^{-1}(y)=-\sqrt{\frac{y}{1-y}}, \quad y\in(0,1),
com imagem igual a (-\infty,0).

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