Em cada item abaixo, calcule o volume do tetraedro e do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
\vec{a}=(2,-1,3), \vec{b}=(-2,9,5) e \vec{c}=(0,4,2)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo e do tetraedro formados pelos vetores \vec{a}=(2,-1,3), \vec{b}=(-2,9,5) e \vec{c}=(0,4,2).
Conteúdo principal: produto vetorial, produto escalar e relação entre produto misto e volume.

Passo 2

Calculamos primeiro o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} via determinante:
\vec{b}\times\vec{c} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 9 & 5\\\\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} =\bigl(9\cdot2-5\cdot4,\,-\bigl(-2\cdot2-5\cdot0\bigr),\,-2\cdot4-9\cdot0\bigr) =(-2,\,4,\,-8).

Passo 3

Em seguida, o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) =(2,-1,3)\cdot(-2,4,-8) =2\cdot(-2)+(-1)\cdot4+3\cdot(-8) =-4-4-24=-32.

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
V_{\text{par}}=\bigl|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\bigr|=|{-32}|=32.

Passo 5

O tetraedro formado pelas mesmas arestas tem volume igual a um sexto do paralelepípedo:
V_{\text{tet}}=\frac{V_{\text{par}}}{6}=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}.

Resposta

Volume do paralelepípedo: 32
Volume do tetraedro: \tfrac{16}{3}

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