Em cada item abaixo, encontre as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}, P_{1} e P_{2}.
P_{0}=(2,1,4), P_{1}=(-2,5,5) e P_{2}=(1,1,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}=(2,1,4), P_{1}=(-2,5,5) e P_{2}=(1,1,2). Para isso, usaremos dois conceitos de geometria analítica:
  1. A equação vetorial de um plano pode ser dada por um ponto P_{0} no plano e dois vetores diretores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} que nele se sustentam.
  2. A equação geral do plano usa um vetor normal \vec{n}, obtido como produto vetorial \vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}, e a relação
\vec{n}\cdot\bigl(\vec{r}-\vec{r}_{0}\bigr)=0\,,
onde \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r}_{0}=P_{0}.

Passo 2

Calculamos os vetores diretores subtraindo coordenadas dos pontos:
\vec{v}_{1} \;=\; P_{1}-P_{0} \;=\;(-2-2,\;5-1,\;5-4)\;=\;(-4,\,4,\,1),
\vec{v}_{2} \;=\; P_{2}-P_{0} \;=\;(1-2,\;1-1,\;2-4)\;=\;(-1,\,0,\,-2).

Passo 3

Com P_{0} e os vetores diretores em mãos, escrevemos a equação vetorial do plano:
\vec{r} \;=\;(2,1,4) \;+\;s\,(-4,4,1)\;+\;t\,(-1,0,-2), \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora determinamos o vetor normal \vec{n}=\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} usando determinante:
\vec{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] -4 & 4 & 1 \\[2pt] -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} =(-8,\,-9,\,4).]

Passo 5

Usando \vec{n} = (-8,-9,4) e P_{0}=(2,1,4) na relação \vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(2,1,4)\bigr)=0, temos
-8(x-2)-9(y-1)+4(z-4)=0.
Expandindo e simplificando:
-8x+16-9y+9+4z-16=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 8x+9y-4z-9=0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec{r} = (2,1,4) + s\,(-4,4,1) + t\,(-1,0,-2),\quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
8x + 9y - 4z - 9 = 0.

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