Em cada item, calcule
, em que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla, que é tipo uma soma acumulada de uma função em uma região específica. Aqui, a função é
e a região
é um retângulo definido por
variando de 0 a 2 e
variando de 0 a
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de integração dupla e entender como integrar em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma mais detalhada. Como
é um retângulo, podemos dividir a integral em duas integrais simples, uma sobre
e outra sobre
:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
como uma constante:
Como
não depende de
, podemos tirá-lo da integral:
Agora, a integral de
em relação a
é
, então temos:
Passo 4
Agora que simplificamos a primeira parte, vamos substituir de volta na integral original:
Fatoramos o 2 para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é 2.